Zeigen Sie, dass die Funktionen Lipschitz-stetig bzw Riemann-integrierbar sind

Question

Aufgabe:

a) Ist f: [a,b]→ℝ beschränkt und Riemann-integrierbar, dann ist die Funktion F:[a,b]→ℝ mit F(x)=∫_{von a nach x} f(y)dy Lipschitz-stetig.

b) Begründen Sie, dass die Funktion f:[-1,1]→ℝ mit f(x)= 1 für 0≤x≤1 bzw. 0 für -1≤x≤0 Riemann-integrierbar ist und zeigen Sie, dass es keine differenzierbar Funktion F:[-1,1]→ℝ gibt, so dass F' (x)=f(x) gilt für alle x. Benutzen Sie dafür den Zwischenwertsatz für Ableitungen. (Liegt y echt zwischen f '(a) und f '(b), dann existiert ein c∈(a,b) mit f '(c)=y.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Lipschitz-Stetigkeit von $F$

Um zu zeigen, dass $F$ Lipschitz-stetig ist, müssen wir beweisen, dass es eine Konstante $L > 0$ gibt, sodass für alle $x_1, x_2 \in [a, b]$ die Ungleichung $|F(x_1) - F(x_2)| \leq L|x_1 - x_2|$ erfüllt ist.

Gegeben ist eine beschränkte und Riemann-integrierbare Funktion $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$. Das bedeutet, dass es eine obere Grenze $M$ gibt, sodass $|f(x)| \leq M$ für alle $x \in [a, b]$.

Die Funktion $F$ ist definiert als $F(x) = \int_a^x f(y)dy$.

Um die Lipschitz-Stetigkeit zu beweisen, betrachten wir zwei Punkte $x_1, x_2 \in [a, b]$ mit $x_1 < x_2$. Dann gilt:

$|F(x_1) - F(x_2)| = \left|\int_a^{x_1} f(y)dy - \int_a^{x_2} f(y)dy\right| = \left|\int_{x_1}^{x_2} f(y)dy\right|$

Da $|f(y)| \leq M$, können wir folgern, dass:

$\left|\int_{x_1}^{x_2} f(y)dy\right| \leq \int_{x_1}^{x_2} |f(y)|dy \leq \int_{x_1}^{x_2} M dy = M(x_2 - x_1)$

Also haben wir gezeigt, dass:

$|F(x_1) - F(x_2)| \leq M|x_2 - x_1|$

Das bedeutet, dass $F$ Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante $L = M$.

b) Riemann-Integrierbarkeit und Nichtexistenz einer differenzierbaren Funktion mit $F' = f$

Die Funktion $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ist definiert als $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{für } 0 \leq x \leq 1 0, & \text{für } -1 \leq x \leq 0 \end{cases}$.

Riemann-Integrierbarkeit:

Eine Funktion ist Riemann-integrierbar, wenn sie auf ihrem Definitionsbereich beschränkt ist und nur an einer Menge von Punkten mit dem Maß Null unstetig ist. Die Funktion $f$ ist offensichtlich beschränkt und hat nur eine Unstetigkeitsstelle bei $x = 0$. Da eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten das Riemann-Integral nicht beeinträchtigt, ist $f$ Riemann-integrierbar.

Nichtexistenz einer differenzierbaren Funktion mit $F' = f$:

Angenommen, es existiert eine differenzierbare Funktion $F: [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}$, für die gilt $F'(x) = f(x)$ für alle $x$. Aufgrund der Definition von $f$ wäre $F'(x) = 1$ für $0 \leq x \leq 1$ und $F'(x) = 0$ für $-1 \leq x \leq 0$.

Der Zwischenwertsatz für Ableitungen (oder Satz von Darboux) besagt jedoch, dass, wenn $f'(a)$ und $f'(b)$ existieren und wenn $y$ ein Wert zwischen $f'(a)$ und $f'(b)$ ist, dann gibt es ein $c \in (a, b)$ sodass $f'(c) = y$. In unserem Fall gibt es jedoch keinen Punkt in $(-1, 0)$, in dem die Ableitung von $F$ den Wert $y$ mit $0<y<1$ annimmt, da die Ableitung $F'$ innerhalb dieses Intervalls konstant null ist. Dies steht im Widerspruch zum Zwischenwertsatz für Ableitungen. Daher kann keine solche differenzierbare Funktion $F$ existieren, dass $F' = f$ überall auf $[-1,1]$ gilt.