R-Vektorraum von Polynomen bis Grad n und Folgen, Vektor (1,1,1) bezüglich Basis B angeben.

Question

a) Zeigen Sie, dass die Menge aller konvergenter reeller Folgen a_n  zusammen mit der üblichen Addition a_n + b_n  und skalaren Multiplikation (c*a_n ) von Folgen einen ℝ-Vektorraum bildet.

b) Geben Sie eine Basis des ℝ-Vektorraums aller Polynome vom Grad höchstens n an.

c) Geben Sie den Vektor v ∈ ℝ³ , der bazüglich der Standardbasis gegeben ist durch

\( v = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) bezüglich der Basis B: \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \) an.

Answer 1

c) Die komponenten eines Vektors geben an, welche Linearkombination der Basisvektoren den Vektor beschreibt.

Deshalb hier der Ansatz als Vektorgleichung:

v = kb1 + mb2 + nb3        k,m,n sind die Komponenten von v in der neuen Basis

Komponentenweise notiert mit den oben gegebenen Zahlen

1 = 1k + 2m + 3n
1 = 0k + 3m + 2n
1=1k + 0m + 1n

Auflösen nach k, m, n

1 = 1k + 2m + 3n
1 =         3m + 2n
1=1k            + 1n           1.-3- Gleichung

0 =        2m + 2n    
1 =        3m  + 2n      untere - obere Gleichung

1 = m

einsetzen

0 = 2 + 2n  → n = -1

1 = k  - 1

2 = k

In der Basis B hat v die Form

   k
( m )
   n

Also
     2
(  1   )
  -1

Mach hier noch eine Probe! Am besten löst du das Gleichungssystem sowieso selbst auf Papier auf.

a) und b) wurden hier so oder ähnlich schon mal gefragt. Vielleicht findest du sie über die Suche.