Zu b) Du musst zeigen, dass D die Kriterien einer linearen Abbildung erfüllt. Ich habe das mal getan. Datei ist hier zu finden.
Zu zeigen ist also: \( \mathrm{D}(\mathrm{a})+\mathrm{D}(\mathrm{b})=\mathrm{D}(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \) und \( \lambda \mathrm{D}(\mathrm{a})=\mathrm{D}(\lambda \mathrm{a}) \)
Es seien a und b zwei Polynome in \( P_{n} \). Somit lassen sie sich wie folgt schreiben.
\( a=\sum \limits_{i=1}^{k} a_{i} \cdot x^{i} \) und \( b=\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i} \cdot x^{i} \) mit \( k m \leq n \)
Die Abbildung D auf beide angewandt ergibt:
\( D(a)=\sum \limits_{i=1}^{n} i \cdot a_{i} \cdot x^{n-1} \) und \( D(b)=\sum \limits_{i=1}^{n} i \cdot b_{i} \cdot x^{i-1} \)
Die Summe dieser beiden ist:
\( D(a+b)=\sum \limits_{i=1}^{max(k,m)} i \cdot\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i-1} \)
Die Summe von a und b ist:
\( a+b=\sum \limits_{i=0}^{max(k,m)}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i} \)
Darauf D angewandt:
\( D(a+b)=\sum \limits_{i=1}^{max(k,m)} i · \left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i-1} \)
Erster Teil geschafft, nun der zweite. Das Polynom a mit einem Skalar \( \lambda \) multipliziert ergibt:
\( \lambda a=\lambda \cdot \sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot x^{\prime}=\sum \limits_{i=0}^{k} \lambda \cdot a_{i} \cdot x^{i} \)
Darauf D angewandt:
\( D(\lambda a)=\sum \limits_{i=1}^{k} \lambda \cdot i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1} \)
Die Abbildung D(a) mit einem Skalar \( \lambda \) multipliziert ergibt:
\( \lambda \cdot D(a)=\lambda \cdot \sum \limits_{i=1}^{k} i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1}=\sum \limits_{i=1}^{k} \lambda \cdot i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1} \)
Damit sind beide Bedingungen erfüllt. Die Abbildung D ist somit eine lineare Abbildung.
