Berechnen der Potenzen (Komplexe Zahlen): (- 1/2 + 1/2√(3)*i)^3

Question

folgende Aufgabe gilt zu lösen: (- 1/2 + 1/2√(3)*i)³.

Meine Lösung ist: - 1/8 + 3/8i^3/2.

Florean :-)

Comments

Bist du sicher, dass das i  in (- 1/2 + 1/2√(3*i))³

auch noch unter der Wurzel ist?

Du könntest hier wegen hoch drei erst den inneren Term (- 1/2 + 1/2√(3*i)) in einen Zeiger verwandeln.

Das ist aber schwieriger, wenn das i unter der Wurzel ist. 

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Grüße dich Lu,

sehe gerade das das i nicht mehr unter der Wurzel ist. Wie könnte man vorgehen wenn i unter der Wurzel steht?

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Wenn i unter der Wurzel stehen würde, kannst du 3i als Zeiger ansehen.

3i = 3_90°

Wurzel draus gibt zwei Zeiger: √3_45° und √3_180°+45° = √3_225°

Damit hättest du da von Anfang an eine Fallunterscheidung.

EDIT: Ich nehm nun mal oben das i aus der Wurzel.

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Hast du denn

(- 1/2 + 1/2√(3)*i) * (- 1/2 + 1/2√(3)*i) * (- 1/2 + 1/2√(3)*i) 

richtig, d.h. nach Distributivgesetz resp. binomischen Formeln ausmultipliziert. Das ginge natürlich auch.

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Noch eine kurze Frage Lu: Wenn ich 7i * 9i habe, dann erhalte ich mit (7*9)i die Lösung 63i?

Oder (7*9) + (i*i) = -63?

Gruße :-)

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Achtung: i*i = -1

Daher 7i * 9i = - (7*9) = - 63

Oder (7*9) + (i*i) = 63 - 1 = 62

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Alles klar :-)  Mit i zu rechnen ist noch etwas ungewohnt.

Answer 1

Bitte. Rauskommen sollte bei beiden im Kommentar vorgeschlagenen Methoden die Zahl 1.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-+1%2F2+%2B+1%2F2√%283%29*i%29+*+%28-+1%2F2+%2B+1%2F2√%283%29*i%29+*+%28-+1%2F2+%2B+1%2F2√%283%29*i%29++

Kommst du nun auch drauf?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-+1%2F2+%2B+1%2F2√%283%29*i%29+

Comments

Mhm irgendwie komme ich nicht auf die 1.

Mein Rechenweg:

(- 1/2 + 1/2√(3)*i) (- 1/2 + 1/2√(3)*i) = (1/4 - 1/4√(3)*i - 1/4√(3)*i + 1/4*3i)
Dies kann man nun zu (1/4 - 1/2√(3)*i + 3/4i) zusammenfassen.

Und aus: (1/4 - 1/2√(3)*i + 3/4i) (- 1/2 + 1/2√(3)*i) erhalte ich (-1/8 + 1/8√(3)i - 3/8i + 3/8√(3)i².

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(- 1/2 + 1/2√(3)*i) (- 1/2 + 1/2√(3)*i) = (1/4 - 1/4√(3)*i - 1/4√(3)*i + 1/4*3 * i^2) 

= (1/4 - 1/4√(3)*i - 1/4√(3)*i - 3/4)

= -1/2 - 1/2 * √3 i

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Ach verdammt, i² :-D

Jetzt habe ich auch als Lösung 1.

Mein Rechenweg (Fortgeführt nach Korrektur):

(-1/2 - 1/2 * √(3)*i) * (-1/2 + 1/2√(3)*i) = (1/4 - 1/4*√(3)*i + 1/4*√(3)*i - 1/4*3i²)

Und daraus folgt 1.

Vielen Dank :-)

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Super! und Bitte.

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Kontrolliere noch, ob du von (- 1/2 + 1/2√(3)*i) zum Zeiger

(- 1/2 + 1/2√(3)*i) = 1_120° kommst.

Dann ist

(- 1/2 + 1/2√(3)*i)^3 = 1_3*120° = 1_360° = 1.

z=(- 1/2 + 1/2√(3)*i) hat

Betrag r = √(- 1/2)^2  + (1/2√(3))^2) 

= √(1/4 + 3/4) = 1

Winkel: arctan(1/2 * √3)/(-1/2) = arctan(-√3) = -60° + k*180°

Nun den richtigen Quadranten bestimmen: x neg und y pos: 2. Quadrant.

Also: Gesuchter Winkel ist -60° + 180° = 120°

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Gibt es dafür eine bestimmte "Formel"?

Ich habe bisher nur gelernt, von zwei Zeigern den Winkel zu bestimmen (z.B. 4,2_30° * 1,5_45°) und diese dann eingezeichnet. Zeiger wie z = -9 - 8i habe ich ebenfalls schon eingezeichnet, aber noch nicht den Winkel bestimmt.

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Du hast ja rechtwinklige Dreiecke in der komplexen Zahlenebene. Da kannst du Längen mit Pythagoras und Winkel mit den Winkelfunktionen bestimmen.