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Bestimmen Sie ohne Rechner die Werte der folgenden Ausdrücke und stellen Sie diese in kartesischer Form und in Polarkoordinaten (bzw. Eulerscher Exponentialform) dar.

 a) (-1+i)^10

b)(1-i sqrt3)^7

c) (1+i)^{14} / (√3 - i)^{7}

von

1 Antwort

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a) (-1+i)10       

Polarkoordinaten für die Basis. Skizzieren und ablesen.

-1 + i = √2 * e^{i*3pi/4}

hoch 10:   (-1 + i)^10 = (√2)^10 * (e^{i*3pi/4} ) ^10

          = 2^5 *e^{i* 30pi/4} = 32*e^{i*15pi/2}

              |nun darf man im Exponenten modulo 2 pi rechnen.

         = 32*e^{3pi/4}

             | zurück in die kartesische Darstellung: Wiederum skizieren und ablesen

        = -32i

Kontrolle hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%2Bi%29%5E10++

Bei b) dasselbe Vorgehen. Beachte, die speziellen Sinuswerte von z.B. 30° und 60°.  Dann sollte das lösbar sein.

b)(1-i sqrt3)7

Bei c) ist leider eine Klammer im Nenner verrutscht und das Wurzelzeichen scheint eher zu lang zu sein. Die Lösung geht wohl im Prinzip wieder gleich.

von 162 k 🚀
Hallo

Wie kommst du bei a) auf auf alpha=3pi/4? Ich komme da auf: alpha=arcsin(y/r)=45grad=pi/4

gruß

anon
Habe meinen Fehler gefunden - hatte alpha falsch "abgelesen"

Das hab ich aus der Skizze: (Achsen noch richtig beschriften!)

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