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Gilt es immer noch, wenn ich eine positive Basis habe, dass - auch bei den komplexen Zahlen - das Ergebnis immer positiv sein wird. Also für den Fall, das b komplex ist:

also: |a|^b > 0

oder gibt es durch i Ausnahmen?
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 |a|b > 0 gilt nicht, wenn b aus C stammen darf

Nimm zB. a = e + 0i          und b = i*phi

Dann ist |a| = e

e^{î*phi}   = cos phi + i sin phi          (gemäss Definition)

für phi von 0 bis 2 pi werden alle Werte auf dem Einheitskreis angenommen. In der komplexen Zahlenebene ist nicht definiert, ob die grösser oder kleiner 0 sind.

von 162 k 🚀

Noch eine Nachfrage: Selbst wenn b jetzt negativ wird, so ist doch das Ergebnis der Potenz immer noch positiv oder?

z. B. 3-2 = 1/9

Wenn ich dich richtig verstanden habe: 

|a|b

|e + 0i| i*phi

|e| cos phi + i sin phi


cos phi + i sin phi kann ja jetzt meiner Einsicht nach positiv, negativ, null oder komplex sein. 

Kann nun |e|Complex negativ werden... ?

Merke gerade, dass ich die Antwort u.U. doch nicht verstanden habe.

 

Danke für den Hinweis. Der Exponent in meiner Antwort war an unbeabsichtigter Stelle.

Hier die korrigierte definitive Version.

Dann ist |a| = e

eî*phi   = cos phi + i sin phi          (gemäss Definition)

 

Deshalb ist nun z.B. e^{i PI} = cos PI  + i sin PI = -1 + 0i = -1.

Aber bei den Winkeln phi ≠ k* PI      (k ganze Zahl)

ist der Imaginärteil gar nicht 0. Die Zahl liegt nicht auf der reellen Achse. Und dort ist gar nicht definiert, ob die Zahl grösser oder kleiner als 0 ist.

Nachtrag: Betrag wirkt hier wie eine Klammer: Zuerst Betrag berechnen e und dann hoch b.

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