Differentialrechnung x''+x=0 als DGL 1. Ordnung schreiben. Dann für Anfangswert...

Question

a) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( \ddot{x}+x=0 \) an.

b) Schreiben Sie die Differentialgleichung in a) als eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung, d. h. finden Sie eine zu a) äquivalente Differentialgleichung der Form

\( \left(\begin{array}{c} \dot{x}_{1} \\ \dot{x_{2}} \end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \)

mit \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \).

c) Berechnen Sie die Lösung \( \varphi \) der in b) angegebenen Differentialgleichung mit dem Anfangswert \( \varphi(1)=\left(\begin{array}{c}3 \\ -3\end{array}\right) \).

Comments

Zu a): Zitat: "ich hatte noch nie eine der Form von a)." Es handelt sich um eine homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie lässt sich mit Hilfe ihrer (quadratischen) charakteristischen Gleichung lösen. Wie dies geschieht, wird in

anschaulich beschrieben. Verweise zur Herleitung sind dort auch enthalten.

In b) soll die Ordnung der Differentialgleichung reduziert werden, das heißt aus der Differentialgleichung 2. Ordnung soll ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung gemacht werden.

In c) soll dann ein Anfangswertproblem zu dem System aus b) gelöst werden.

Answer 1

x'' + x = 0

Es wird eine Funktion gesucht, für die die obere Gleichung gilt.

Bilde das charakteristische Polynom, welches den Grad 2 hat (da die obere DGL 2. Ordnung ist)

P₂(Z) = Z² + 1

Nullstellen bestimmen

P₂(Z) = 0 für  Z_1/2 = +/- √(-1) = +/- j

Nun kann man auch anhand der Nullstellen die allgemeine Lösung angeben. Eine partikuläre Lösung kann nicht angegeben werden, da die Störfunktion h(x) = 0 ist.

Eine Nullstellen Z_x hat immer den Aufbau :  α + β*j

Die Nullstellen der oberen Funktion sind alle komplex und ihre Parameter sind:

α = 0

β = +1 für Z₁ und -1 für Z₂

Damit kann man auch schon einsetzen

x = C₁ * e^α*k * cos(k) +   C₂ * e^α*k  * sin(k)

x = C₁ * cos(k) + C₂ * sin(k) ist die gesuchte Funktion

Die Funktion muss zweimal differenziert werden

x = C₁ * cos(k) + C₂ * sin(k)

x' = -C₁*sin(k) + C₂ * cos(k)

x'' = -C₁ * cos(k) -C₂ * sin(k)

Einsetzen in DGL

-C₁ * cos(k) - C₂ * sin(k) + C₁* cos(k) + C₂ * sin(k) = 0

0 = 0