integration sin(nx)*sin(mx)

Question

∫sin (nx)* sin (mx)dx, n,m ∈ℕ  n≠m

habe ein frage zur integration, da ich nächste woche meine mathe-klausur schreibe und noch nicht vollständig durchgeblickt habe:

also die aufgabe lautet:

sin(nx)*sin(mx)dx, n,m element N und n ist ungleich m
das ganze ist in den grenzen von 0−π

mein erster ansatz war eine substitution durchzuführen mit y=x−(π2)⇒x=y+(π2) und die grenzen dadurch so zu verändern das man −π2 und π2 hat und so die symmetrie vom sinus ausnutzen kann. Jedoch verwirrt mich das n,m element N da dadurch der sin ja nur positiv sein kann und so keine symmetrie vorhanden ist oder?
die zweite möglichkeit ist die partielle integration

hierfür habe ich u=sin(nx) und v'=sin(mx) gewählt
dadurhc hab ich die funktion erhalten:
(sin(nx)*(-(1/m)cos(mx))-∫ ncos(nx)*(-(1/m) cos(mx)

dort komme ich nun aber auch nicht so recht weiter für den ersten teil ohne das integral habe ich mit einsetzen der grenzen 0 raus.Das ergebnis der gesamten aufgabe ist 0 laut lösungsblatt.

wäre echt super wenn mir jemand einen ansatz liefern könnte oder kurz erklären könnte wie ich verfahren soll

tut mir leid für den riesentext

danke im voraus schonmal
gruß eike

Comments

Der Trick ist zweimal partielle integration zu machen.

---

ist meine erste partielle integration denn richtig bzw. was wähle ich bei der 2. partiellen integration als u und v'?

---

Man kann hier auch einfach die Additionstheoreme benutzen. Dann ist das noch etwas einfacher.

Siehe meine Lösung bzw. die von Wolframalpha.

Answer 1

Ich erlaube mir mal das ganze durch Wolframalpha lösen zu lassen.

Wolframalpha (für Android oder iOS) empfehle ich jedem Studenten, der mal solche Berechnungen durchführen muss und auf keinen Ansatz kommt.

Answer 2

die partielle Integration ist wohl korrekt. Wende nun das gleiche Verfahren auf das Integral \(\int\cos nx\cos mx\,\mathrm dx\) an.$$\begin{array}{ll}u=\cos nx&v'=\cos mx\\u'=-n\sin nx&v=\frac1m\sin mx\end{array}$$$$\int\sin nx\sin mx\,\mathrm dx=$$$$\small\quad-\frac1m\sin nx\cos mx+\frac nm\left(\frac1m\cos nx\sin mx+\frac nm\int\sin nx\sin mx\,\mathrm dx\right)$$Fasse nun die Integrale beiderseits des Gleichheitszeichens zusammen.$$\small\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int\sin nx\sin mx\,\mathrm dx=-\frac1m\sin nx\cos mx+\frac{n}{m^2}\cos nx\sin mx.$$