Sachaufgabe zum Thema "Scheitelpunktbestimmung-quadratische Ergänzung

Question

Ein Unternehmen bietet Reithelme zu einem Verkaufspreis von 39,00 € an. Eine Marktanalyse ergab, dass sich der tägliche Gewinn G (in € ) bei einem Verkaufspreis x (in €) mit folgender Formel berechnen lässt: G= -x^2+70x -1000. Zu welchem Verkaufspreis sollte das Unternehmen die Reithelme verkaufen?

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht und weiß auch nicht wie man das rechnen soll, der Verkaufspreis steht doch schon in der Aufgabe oder? Was soll man da dann noch berechnen?

Answer 1

Gesucht ist der x-Wert für den die Funktion einen
Hochpunkt ( Maximum ) hat.

G ( x ) = -x² + 70x  - 1000
G ´( x ) = -2x + 70
Extrempunkt
-2x + 70 = 0
2x = 70
x = 35
Nachschauen ob einMinimum oder Maximum vorliegt
G ´´ ( x ) = -2
x = 35 ist ein Maximum.
Der optimale Verkaufspreis mit dem höchsten Gewinn
ist 35 €.
Du kannst einmal 39 € und 35 € in die Ausgangsgleichung
einsetzen und dir den Gewinn anschauen.

Nachtrag : ich vermute ihr habt die Differentialrechnung
noch nicht gehabt. Ich lasse die Antwort trozdem hier stehen.

Comments

Neiin, die Differentialrechnung hatten wir noch nicht, trz danke :)

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Dann kannst du mit der quadrat. Ergänzung den Scheitel der Parabel bestimmen.

-x² + 70x  - 1000
-(x^2-70x+35^2-35^2)-1000
-(x-35)^2+225

Der Scheitel liegt also bei (35/225)

Answer 2

Die Funktion ist nach unten geöffnet , also ist der beste Verkaufspreis der Scheitelpunkt.

Funktion umstellen

-x² +70x= 1000                    -1 ausklammern und  quadtratisch ergänzen

-1 ( x-35)²    = 1000 -1225           alles auf eine Seite bringen

-1 * (x-35)²  +225  =0               ( Scheitelpunktform )

Der Scheitelpunkt  ist bei  x= 35 , dies ist auch  der beste Verkaufspreis.