Folgen: Begriffe konvergent, divergent, beschränkt, monoton bei Bsp. a(n) = n/(n+1)

Question

ich komm nicht draus bei den Begriffen: Konvergenz, Divergenz und Beschränktheit bei Folgen:

zB. a(n) = n/(n+1)

hier ist a1 = 1/2 ; a2 = 2/3; a3 = 3/4 etc...

Wie kann ich nun überprüfen, ob sie konvergiert, divergiert und beschränkt ist???

Ich weiss nur dass sie streng monoton steigend ist , dass mit der Monotonie ist klar...

Ausserdem, wie sieht es bei den Reihen aus?

Comments

Hallo

die Folge konvergiert gegen 1 würde ich sagen.

Answer 1

Hi, die Folge ist nach oben beschränkt da \( n \lt n+1 \)  also \( \frac{n}{n+1} \lt 1 \) gilt. Die Monotonie folgt aus \( \frac{n}{n+1} \lt \frac{n+1}{n+2} \), weil \( n^2+2n \lt n^2+2n+1 \) gilt.

Eine streng monotone beschränkte Folge ist konvergent (den Satz müsstet ihr gehabt haben).

Weiter gilt \( \frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \) und weil \( \frac{1}{n} \) gegen 0 geht, konvergiert \( \frac{n}{n+1} \) gegen 1.