Differenz und Funkionswerte im umschlossenen Flächenstück

Question

Übung zu Normalen, Näherungsverfahren, Flächeninhalt, Extremalproblem:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\left(x^{2}-2 x\right) \cdot e^{0.5 x}$.

a) Wo schneidet die Kurvennormale im Wendepunkt $W_{1}\left(-6 \mid 48 \mathrm{e}^{-3}\right)$ die Kurvennormale im Wendepunkt $\mathrm{W}_{2}(0 \mid 0) ?$

b) Wo schneidet der Graph von $\mathrm{f}$ die Winkelhalbierende des 1. Quadranten? Bestimmen Sie den Schnittpunkt näherungsweise (auf 2 Nachkommastellen).

c) Wo schneidet der Graph der Funktion $g(x)=e^{0.5x}$ den Graphen von $f$ ? Wie groß ist der Inhalt des von $\mathrm{f}$ und $\mathrm{g}$ umschlossenen Flächenstücks $\mathrm{B}$? Verwenden Sie die Stammfunktion $\mathrm{F}$ von $\mathrm{f}$ aus Übung 9a.

d) An welcher Stelle in dem umschlossenen Flächenstück B wird die Differenz der Funktionswerte von g und f maximal?

Answer 1

f(x) - g(x)

= (x² - 2·x)·e^0.5·x - e^0.5·x

= e^0.5·x·(x² - 2·x - 1)

f'(x) = 0.5·e^0.5·x·(x² + 2·x - 5) = 0
x = 1.449489742 [∨ x = -3.449489742]

Skizze

Answer 2

Hi,

bestimme die Schnittpunkte der Graphen f und g. Ergebnis $1 \pm \sqrt{2}$

Berechne die erste Ableitung von h(x)=f(x)-g(x) und bestimme die Nullstellen. Ergebnis $-1 \pm \sqrt{6}$

Wähle die Nullstelle aus, die im zugelassenen Bereich liegt.

Prüfe über die zweite Ableitung ob wirklich ein Maximum vorliegt.