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Einem Quadrat mit der Seitenlänge 6m soll ein gleichschenkliges Dreieck so einbeschrieben werden, dass eine seiner Ecken mit einer Quadratecke zusammenfällt. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird.

Ich weiß die Zeichnung ist nicht so toll, aber soll nur eine art Skizze sein damit ihr eine Vorstellung habt um was es geht.

 

Danke schon mal für die Hilfe :)

 

 

von

1 Antwort

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Also da gibt es mehrere Möglichkeiten. Ich habe das jetzt so gelöst: Ich habe die gesamte Fläche des Quadrats in einzelne Flächen, die von x abhängen, aufgeteilt:

blob.png

Die Summe aller einzelnen Flächeninhalte ergibt das gesamte Quadrat. Dann habe ich eine Funktion aufgestellt, in der der Flächeninhalt A des Dreiecks von x abhängt:

\( \frac{x^{2}}{2}+\frac{6(6-x)}{2}+\frac{6(6-x)}{2}+A=6^{2} \)
\( \frac{x^{2}}{2}+36-6 x+A=36 \)
\( A(x)=-\frac{x^{2}}{2}+6 x \)

Das kann man nun ableiten und den Hochpunkt für ein x berechnen.

 \( A(x)=-\frac{x^{2}}{2}+6 x \rightarrow \text{max.} \)
\( A^{\prime}(x)=-x+6 \)
\( A^{\prime}(x)=0 \)
\( -x+6=0 \)
\( x=6 \)


Wenn x=6 ist, ist der Flächeninhalt also maximal. Zeichnet man das ein:

blob.png

Da sieht man sofort, dass zwei Seiten 6 lang sind und die andere gemäß Satz des Pythagoras 6^2 + 6^2 = c^2 ↔ c= √72 = 8,49

Das Ergebnis kommt mir ein wenig komisch vor, ich weiss nicht, ob das so sein soll. Vielleicht könnte mich jemand bestätigen (oder widerlegen), ob das auch der Definition eines gleichschenkligen Dreieckes entspricht. Aber eigentlich doch schon, oder? 2 gleich lange Seiten...

Da fallen aber auch 3 Ecken mit Quadratecken zusammen, nicht nur eine... Also ich bin mir unsicher ;)

von 4,3 k

Ich habe es verstanden danke

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