Den Radius einer verschmutzen Fläche in Abhängigkeit der Zeit berechnen?

Question

a) Aus einem defekten Öltank läuft Öl aus. Dieses verursacht auf dem Boden einen runden Ölfleck, der sich ständig vergrößert. Geben Sie den Radius der verschmutzen Fläche in Abhängigkeit der Zeit an, wenn sich die Fläche pro Sekunde um 10cm^2 vergrößert.

b) Ein quadratisches Grundstück mit dem Flächeninhalt A ( in m^2) soll mit einem Zaun umgeben werden. Der Zaun kostet 80 Euro pro Meter. Geben Sie den Zaunpreis in Abhängigkeit von der Grundstücksfläche A an.

Answer 1

zu a)

Vorüberlegungen:

Zum Zeitpunkt t = 0 s möge noch kein Fleck vorliegen -> A_Fleck = 0 cm²

Zum Zeitpunkt t = 1 s beträgt die Fläche es Flecks 10 cm² -> A_Fleck = 10 cm²

Zum Zeitpunkt t = 2 s beträgt die Fläche es Flecks 20 cm² -> A_Fleck = 20 cm²

usw.

Es gilt bei Kreisflächen A = π*r² -> r = √(A/π)

Da sowohl der Radius r als auch die Kreisfläche A von der Zeit abhängt, gilt

r(t) = √(A(t)/π), π ist eine Konstante und ist somit zeitunabhängig

-> r(0 s) = √0/π)

-> r(1 s) = √(10 cm²)/π)

-> r(2 s) = √(20 cm²)/π) ....

=> r(t) = √((10 cm²)*t)/π) für  0 ≤ t ≤ ∞

zu b)

Fläche des Quadrats A = a*a und der Umfang des Quadrates ist u = a + a + a + a = 4*a

Mit A = a² folgt für u = 4*√(A)

Da der Zaunpreis pro Meter gegeben ist, gilt diesbezüglich

=> Zaunpreis = (4*√(A))*(Zaunpreis/m)

Probe:

A = 1 m² -> a = 1 m -> u = 4 m -> Zaunpreis = (4 m)*80 Euro/m = 320 Euro

Und Zaunpreis = (4*√(A))*(Zaunpreis/m) = 4*√(1 m²)*80 Euro/m = (4 m)*(80 Euro/m) = 320 Euro