Imaginärteil ausrechnen von (1+3i)(cos x + i sin x) /10. Ansatz vom Typ der rechten Seite DGL

Question

Ich habe den unten angegebenen Imaginärteil, den ich ausrechnen muss für meine partikuläre Lösung.

Gegeben ist die DGL

Es soll die Lösungen der DGL berechnet werden. Für die partikuläre Lösung den Ansatz vom Typ rechten Seite anwenden    y_p(x) = Im(C₀•e^ix)

$$ \ddot { y } ( x ) - 3 \dot { y } ( x ) + 2 y ( x ) = \sin ( x ) $$

$$ Im( \frac{1+3i}{10} (cos(x)+i·sin(x)) $$

Der untere Imaginärteil soll berechnet weden.

Answer 1

1. Alles auf einen Bruchstrich schreiben. 2. Ausmultiplizieren und 3. sortieren: Real- und Imaginärteil 

(1+3i)(cos x + i sin x) /10

=( cos x + i sin x + 3i cos x - 3 sin x) / 10

= (cos x -3 sin x) / 10 + i (sin x + 3 cos x) / 10

Der Imaginärteil ist        (sin x + 3 cos x) / 10