Funktion in n-Streifen unterteilen und Flächeninhalt berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie \( \int \limits_{2}^{5}\left(x+x^{2}\right) d x \) mit n-Streifen.

Comments

1. Funktion skizzieren oder besser plotten

2. Mathebuch sorgfältig durchblättern da stehts nämlich drin was gemeint ist.

Answer 1

Hi,
definiere Zerlegungspunkte auf dem Intervall \( [2, 5] \) z.B.
$$ x_n=a+(n-1)\cdot \frac{b-a}{N} $$
wobei \( a=2 \) und  \( b=5 \) und \( N \) die Anzahl der Streifen ist.
Dann berechne die Unter- und Obersummen
$$ S_U=\sum_{n=1}^{N-1}\left( x_{n+1}-x_n \right)\cdot f(x_n) $$ und
$$ S_O=\sum_{n=1}^{N-1}\left( x_{n+1}-x_n \right)\cdot f(x_{n+1}) $$
wobei \( f(x)=x+x^2 \) ist.
Das korrekte Ergebnis ist \( 49.5 \). Für \( N=50 \) ergibt sich für \( S_U=49.374 \) und \( S_O=49.446\)
Man sieht, die Ober- und Untersummen konvergieren gegen die richtige Lösung und auch gegeneinander.

Comments

Man sieht, die Ober- und Untersummen konvergieren
Das sieht man anhand eines einzigen Wertes ?

Die Indizes O und U werden gewählt, weil doch wohl S_O ≥ 49,5 ≥ S_U  sein sollte.

Deine Summation funktioniert nur für monoton wachsende Funktionen. Hast du dir den Nachweis dafür geschenkt, weil die Monotonie von f im Intervall [2 ; 5] allerdings noch eher als die besagte Konvergenz zu sehen ist ?

Warum lässt du den letzten Streifen weg ?

---

Das die Summen konvergieren ist ja hier nicht Gegenstand der Aufgabe. Dazu liest Du am besten mal hier nach
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral
wenn Du Fragen dazu hast.

Exemplarisch sieht man die Konvergenz wenn man die Summen für verschiedene \( N \) berechnet.

Da man beim Riemannintegral entweder $$ sup_{ x_n \le x \le x_{n+1}}{f(x)} $$ oder
$$ inf_{ x_n \le x \le x_{n+1}}{f(x)} $$ berechnen muss und das bei monoton steigenden Funktionen mit dem übereinstimmt was ich geschrieben habe, kannst Du dir leicht selber klar machen. Solltest Du noch Fragen habe, frag einfach nochmal nach.
Das letzte Intervall habe ich tatsächlich vergessen, die Summen müssen daher bis \( N \) und nicht bis \( N-1 \) laufen, dann gilt auch \( S_U \le 49.5 \le S_O \)