Man erzeuge eine Gerade, die windschief zur einer anderen Geraden ist.

Question

Gegeben sind die Gerade g und eine Ebene \( \varepsilon \). Gerade g durch die Punkte \( \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2} \quad \mathrm{P}_{1}(6 ; 3 ; 4), \mathrm{P}_{2}(-2 ; 2 ; 8) \) Ebene \( \varepsilon \) durch die Punkte \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \quad \mathrm{A}(1 ; 2 ; 6), \mathrm{B}(-4 ;-8 ;-4), \mathrm{C}(13 ; 5 ; 2) \)

Wie liegen diese zueinander? Falls gemeinsame Punkte existieren, gebe man diese in geeigneter Darstellungsform an.

Zusatzfrage: Man erzeuge eine Gerade \( \mathrm{g}_{2} \), die windschief zur Geraden \( \mathrm{g}_{1} \) ist.

Answer 1

X = A + r·(B - A)

X = [6, 3, 4] + r·([-2, 2, 8] - [6, 3, 4]) = [6, 3, 4] + r·[-8, -1, 4]

X = A + r·(B - A) + s·(C - A)

X = [1, 2, 6] + r·([-4, -8, -4] - [1, 2, 6]) + s·([13, 5, 2] - [1, 2, 6])

X = [1, 2, 6] + r·[-5, -10, -10] + s·[12, 3, -4]

N = [-5, -10, -10] ⨯ [12, 3, -4] = [70, -140, 105] = 35·[2, -4, 3]

X·[2, -4, 3] = [1, 2, 6]·[2, -4, 3]

2·x - 4·y + 3·z = 12

Ich glaube die Gerade liegt in der Ebene. Du kannst mal die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene einsetzen.

Überlege dir z.B. ob die x-Achse windschief zur Geraden sein kann. Wenn ja warum, wenn nein warum nicht. Wie sieht es mit den anderen Achsen aus.