Geben Sie zur einer Geraden g orthogonale Ebene an, die durch den Ursprung verläuft.

Question

Wie kann ich eine orthogonale Ebene bestimmen, die zur Geraden g: $$\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} + λ \begin{pmatrix} -1\\2\\-2 \end{pmatrix}$$  durch den Ursprung verläuft?

Answer 1

Hallo

 die Gerade ist ja Normale zu der Ebene, also kannst du direkt die Hessesche Normalform der Ebene hinschreiben n*x=0

Gruß lul

Comments

Entweder direkt oder Hesse

---

Kannst du das genauer erklären?

---

Hallo

 kennst du die Hessesche Normalform einer Ebene auch Koordinatenform genannt? Was ist dir dann nicht klar?

Gruß lul

Answer 2

man kann die Sache auch so angehen:

Ich nutze die Gerade für eine sogenannte Punktescharr im Raum, sodas ich diesen Punkt habe:
$$X(1-\lambda|1+2\lambda|2-2\lambda)$$

Ursprung $$O(0|0|0)$$

Den Abstand kann man ja mit dieser bekannten Abstandsformel bestimmen:

$$d(X;O)=\sqrt{(1-\lambda)^2+(1+2\lambda)^2+(2-2\lambda)^2}=\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}=:d(\lambda)$$

Nun führe ich damit eine Kurvendisskusion durch, um gerade den Wert für λ zu bestimmen, sodass der Abstand minimal wird. Denn dadurch ist der Vektor $$\vec{OX}$$ orthogonal zur Gerade g.

d zweimal abegeleitet ergibt:

$$d'(\lambda)=\frac{9\lambda-3}{\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}}=(9\lambda-3)(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-0,5}\\d''(\lambda)=9(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-0,5}+(9\lambda-3)(-0,5)(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-1,5}(18\lambda-6)$$

1. Ableitung Null setzen:

$$0=\frac{9\lambda-3}{\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}}\Leftrightarrow 9\lambda-3=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{1}{3}\\0=9\lambda^2-6\lambda+6\quad |:9\\0=\lambda^2-\frac{2}{3}\lambda+\frac{2}{3}\\ \lambda_{1,2}=\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\pm\sqrt{-\frac{5}{9}} \Rightarrow \mathbb{L}=\{\}$$ Da der Nenner nie Null wird, ist λ=1/3 ein potentieller Kandidat.

Überprüfung mittels 2. Ableitung:

$$d''(\frac{1}{3})=9\Bigg(9\cdot \Big(\frac{1}{3}\Big)^2-6\cdot \frac{1}{3}+6\Bigg)^{-0,5}+\Big(9\cdot \frac{1}{3}-3\Big)(-0,5)\Bigg(9\Big(\frac{1}{3}\Big)^2-6\cdot \frac{1}{3}+6\Bigg)^{-1,5}\Big(18\cdot \frac{1}{3}-6\Big)\\=\frac{9}{\sqrt{5}}>0$$ Also ist λ=1/3 die Stelle für ein Minimum. Dann hat man also den Punkt

$$X\Big(\frac{2}{3}\Big|\frac{5}{3}\Big|\frac{4}{3}\Big)$$ und als Vektor geschrieben:

$$\vec{OX}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{4}{3} \end{pmatrix}$$

Nun geht es um die Ebene. Ich kann den Richtungsvektor von der Geraden g als Normalenvektor nutzen, um so die Ebenengleichung in Hesse-Form aufzustellen:

$$E:\Bigg[\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{4}{3} \end{pmatrix}\Bigg]\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2 \end{pmatrix}=0$$

In Koordinatenform umgerechnet:

$$E:-x+2y-2z=0$$

Wenn du es in Parameterform haben willst, musst du dir noch  einen zweiten Richtungsvektor bauen, der senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden g ist.

Comments

Hallo

 warum dieser umständliche Weg, wenn die Hessse Normalform bekannt ist?

ich denke damit machst du den FragerIn unsicher

Gruß lul

---

ich denke damit machst du den FragerIn unsicher

Woher willst du das wissen?

Es war halt eine Idee, wie man es machen kann, bzw. da ich auch keine weitere Idee hatte, wie man es direkter (vielleicht auch einfacher) machen könnte!

---

Hallo aber du benutzt doch Hesse, wozu dann das vorher, wo man n schon kennt?

Aber der Frager ist scheintts eh nicht mehr interessiert.

Gruß lul

---

Aber wie soll man denn damit einen passenden Stützvektor finden?

---

EDIT: Oder vielleicht so hier:

$$E:\Bigg[\vec{x}-\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}\Bigg]\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2 \end{pmatrix}\stackrel{!}{=}0$$

In Koordinatenform gebracht:

$$E:-x+2y-2z=a-2b+2c\stackrel{!}{=}0\\a-2b+2c=0\Leftrightarrow a=2b-2c$$Wähle b=c=0, also ist a=0. Ok, überredet... Spontanidee hat aber auch funktioniert.^^