man kann die Sache auch so angehen:
Ich nutze die Gerade für eine sogenannte Punktescharr im Raum, sodas ich diesen Punkt habe:
$$ X(1-\lambda|1+2\lambda|2-2\lambda) $$
Ursprung $$ O(0|0|0) $$
Den Abstand kann man ja mit dieser bekannten Abstandsformel bestimmen:
$$ d(X;O)=\sqrt{(1-\lambda)^2+(1+2\lambda)^2+(2-2\lambda)^2}=\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}=:d(\lambda) $$
Nun führe ich damit eine Kurvendisskusion durch, um gerade den Wert für λ zu bestimmen, sodass der Abstand minimal wird. Denn dadurch ist der Vektor $$ \vec{OX} $$ orthogonal zur Gerade g.
d zweimal abegeleitet ergibt:
$$ d'(\lambda)=\frac{9\lambda-3}{\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}}=(9\lambda-3)(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-0,5}\\d''(\lambda)=9(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-0,5}+(9\lambda-3)(-0,5)(9\lambda^2-6\lambda+6)^{-1,5}(18\lambda-6) $$
1. Ableitung Null setzen:
$$ 0=\frac{9\lambda-3}{\sqrt{9\lambda^2-6\lambda+6}}\Leftrightarrow 9\lambda-3=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{1}{3}\\0=9\lambda^2-6\lambda+6\quad |:9\\0=\lambda^2-\frac{2}{3}\lambda+\frac{2}{3}\\ \lambda_{1,2}=\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\pm\sqrt{-\frac{5}{9}} \Rightarrow \mathbb{L}=\{\}$$ Da der Nenner nie Null wird, ist λ=1/3 ein potentieller Kandidat.
Überprüfung mittels 2. Ableitung:
$$ d''(\frac{1}{3})=9\Bigg(9\cdot \Big(\frac{1}{3}\Big)^2-6\cdot \frac{1}{3}+6\Bigg)^{-0,5}+\Big(9\cdot \frac{1}{3}-3\Big)(-0,5)\Bigg(9\Big(\frac{1}{3}\Big)^2-6\cdot \frac{1}{3}+6\Bigg)^{-1,5}\Big(18\cdot \frac{1}{3}-6\Big)\\=\frac{9}{\sqrt{5}}>0 $$ Also ist λ=1/3 die Stelle für ein Minimum. Dann hat man also den Punkt
$$ X\Big(\frac{2}{3}\Big|\frac{5}{3}\Big|\frac{4}{3}\Big) $$ und als Vektor geschrieben:
$$ \vec{OX}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{4}{3} \end{pmatrix} $$
Nun geht es um die Ebene. Ich kann den Richtungsvektor von der Geraden g als Normalenvektor nutzen, um so die Ebenengleichung in Hesse-Form aufzustellen:
$$ E:\Bigg[\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{4}{3} \end{pmatrix}\Bigg]\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2 \end{pmatrix}=0 $$
In Koordinatenform umgerechnet:
$$ E:-x+2y-2z=0 $$
Wenn du es in Parameterform haben willst, musst du dir noch einen zweiten Richtungsvektor bauen, der senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden g ist.
