Was ist der Flächeninhalt A?

Question

Gesucht ist der Inhalt A der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x) = 2x, g(x) = x und h(x) = 2/x^2 eingeschlossen wird. Ich weiß, dass man die Funktionen gleichsetzen muss, um die Schnittpunkte auszurechnen. Das habe ich soweit. Doch um eine Stammfunktion zu bekommen, muss man die Funktionen voneinander abziehen oder? Bitte zu genaue Erlklärung! Dankeschön :)

Answer 1

$$\int_u^o \, f(x)-g(x) \,dx = \int_u^o \, f(x) \,dx-\int_u^o \, g(x) \,dx$$
Es ist also Wurscht, ob Du erst die Differenz der Funktionen bildest und dann integrierst oder zuerst die Funktionen integrierst, und dann die Differenz der Integrale bildest. Allerdings ist darauf zu achten, dass innerhalb der Integrationsgrenzen keine Nulldurchgänge bei der Differenzfunktion vorkommen. Also schon geschickter vor der Integration die Differenzfunktion zu bilden und zu untersuchen.

Answer 2

um sich ein Bild der 3 Funktionen zu machen empfiehlt sich
eine Zeichnung

Der Schnittpunkt von f und h ist x = 1.
Der Schnittpunkt von g und h ist x = 1.26

Die von den 3 Kurven eingeschlossene Fläche muß in 2 Teile
aufgeteilt werden. Von x = 0 bis x = 1 und x = 1 bis x = 1.26.

Für den ersten Teil gilt :
blaues Dreieck minus rotes Dreieck = Fläche
f ( 1 ) = 2
g ( 1 ) = 1
Grundlinie * Höhe / 2 = ( 1 * Funktionswert an der Stelle x = 1 ) / 2
F = 1 * 2 / 2 - 1 * 1 / 2 = 1 - 1/2
F = 1 / 2

Beim 2.Teil muß integriert werden.
∫ h ( x ) dx = ∫ 2/x² dx = -2 / x
∫ g ( x ) dx = ∫ x dx = x² / 2

F2 = ∫ h ( x ) dx - ∫ g( x ) dx  zwischen 1 .. 1.26

[ -2 / x ]₁^1.26 - [ x² / 2 ]₁^1.26
-2 / 1.26 - ( -2 / 1) - [ 1.26² / 2 - 1² / 2 ]
-1.587 + 2 - [ 0.794 - 0.5 ]
F2 = 0.119

Insgesamt ergibt sich

1 / 2 + 0.119 = 0.619

mfg Georg