Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen im Intervall 0;1/a

Question

Hey!

Aufgabe:

Bestimmen Sie a>0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegebenen Flächeninhalt A hat.

f(x) = x² +1

g(x) = (a²+1) • x²

A= 4/3

Problem/Ansatz:

Schnittpunkte:

f(x) = g(x)

x² + 1= a²x² + x²    | -x² | -1

a²x² - 1=0

a²x² = 1

x1 = 1/a     x2 = - 1/a da a>0 entfällt x2

Somit ist die zu zu betrachtende Fläche im Intervall 0 bis 1/a

Integral in den Grenzen von 0-1/a von (a²x² -1)dx = [a²/3 x³ - x] Grenzen 0 und 1/a = a²/3 • 1/a³ - 1/a = 1/3 • 1/a - 1/a = 1/3a - 1/a = 1/3a -3/3a = -2/3a

-2/3a = 4/3  | •3a

-2 = 12a/3

-2 = 4a

a= -0,5 Diese Lösung ist aber falsch, die richtige Lösung ist nämlich a=1 aber wie komme ich darauf? Wo ist mein Fehler?

Ich dachte es könnte daran liegen dass ich g(x) - f(x) gerechnet hab, aber wenn ich es ndersherum mache, dann kommt unterm Strich a = 0,5 was ja immer noch falsch ist.

Ich wäre echt sehr dankbar für jede Hilfe, da ich morgen die Arbeit schreibe und an dieser Aufgabe verzweifle

Liebe Grüße

Answer 1

a = 1 ist die Lösung von

\(\displaystyle \frac{4}{3}=\int \limits_{-1/a}^{1/a}\left(\left(x^{2}+1\right)-\left(a^{2}+1\right) x^{2}\right) d x \)

Comments

Also ist es ja richtig, dass ich die Hälfte rausbekomme, wenn ich die Hälfte des Intervalls berechne. Dankeschön

Answer 2

Entfernt, da ich einen ganz blöden Fehler gemacht habe.

Answer 3

Hallo

richtig ist, du musst von -1/a bis +1/a integrieren  und zwar f-g=1-a^2x^2 oder die  die Fläche symmetrisch zu x=0 ist das 2*Integral von 0 bis 1/a du hast richtig nur mit dem falschen Vorzeichen richtig  ist -  a^2x^3/3+x |^1/a₀=-1/(3a)+1/a=2/3 daraus a

dein Hauptfehler du rechnest nur die halbe Fläche aus, jetzt sie aber gleich 4/3, der ganzen. 2. ist eine flache immer positiv, wenn man statt f-g  g-f integriert, bekommt man eine negative Fläche, muss also den Betrag nehmen.

Gruß lul

Comments

Okay danke, ich habe die halbe Fläche gerechnet, da a ja größer 0 sein muss und ich deshalb als untere Grenze statt -1/a eine 0 genommenen hab.