Komplexe Nullstellen bei komplexen Polynomen - Potenzen

Question

Seien p(z), q(z) komplexe Polynome mit den selben komplexen Nullstellen z₁,...,z_n (möglicherweise unterschiedlicher Vielfachheiten). Zeige, dass p eine Potenz von q teilt, d. h. es gibt ein N ∈ ℕ, so dass p(z) das Polynom (q(z))^N teilt.

Gilt die Aussage auch für reelle Polynome und reelle Nullstellen?

Answer 1

p(z) und q(z) seien normierte komplexe (oder reelle) Polynome, wobei gilt

Comments

Vielen Dank für die Antwort,
hat mir sehr geholfen! :)

Answer 2

den ersten Teil zeigst du mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung der Polynome $p$ und $q$.

Für reelle Polynome gibt es ein Gegenbeispiel, das das irreduzible Polynom $x^2 + 1$ benutzt:

Ist $p = (x^2 + 1) (x - 1)$ und $q = (x - 1)$, so haben diese beiden Polynome dieselben reellen Nullstellen (nämlich eine einzige, die $1$), aber keine Potenz von $q$ is durch $p$ teilbar.

Mister

Comments

Vielen Dank für das anschauliche Gegenbeispiel! :)