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Seien p(z), q(z) komplexe Polynome mit den selben komplexen Nullstellen z1,...,zn (möglicherweise unterschiedlicher Vielfachheiten). Zeige, dass p eine Potenz von q teilt, d. h. es gibt ein N ∈ ℕ, so dass p(z) das Polynom (q(z))N teilt.

Gilt die Aussage auch für reelle Polynome und reelle Nullstellen?

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2 Antworten

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p(z) und q(z) seien normierte komplexe (oder reelle) Polynome, wobei gilt

Bild Mathematik

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Vielen Dank für die Antwort,
hat mir sehr geholfen! :)
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den ersten Teil zeigst du mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung der Polynome p p und q q .

Für reelle Polynome gibt es ein Gegenbeispiel, das das irreduzible Polynom x2+1 x^2 + 1 benutzt:

Ist p=(x2+1)(x1) p = (x^2 + 1) (x - 1) und q=(x1) q = (x - 1) , so haben diese beiden Polynome dieselben reellen Nullstellen (nämlich eine einzige, die 1 1 ), aber keine Potenz von q q is durch p p teilbar.

Mister

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Vielen Dank für das anschauliche Gegenbeispiel! :)

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