Hm, ein einfaches Gegenbeispiel fällt mir nicht ein (vermutlich weil Brett vorm Kopf). Ein nicht ganz so einfaches hätte ich, es kann aber durchaus sein, dass sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hat.
Also wir definieren zunächst eine Funktion \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\),
$$ f(x)=\begin{cases}\frac{\pi}{2},~x=0 \\ \arctan(x),~x\neq 0\end{cases}~. $$
Dann ist \(d(x,y):=|f(x)-f(y)|\) eine Metrik. Kurze Skizze des Beweises:
1) Positive Definitheit: \(d(x,y)\geq 0\) ist aufgrund des Betrags offensichtlich. Da für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, dass \(\arctan(x)\in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) ist, und \(\arctan\) monoton steigt, ist \(d(x,y)=0\) genau dann, wenn \(x=y\).
2) Symmetrie: \(d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|-(f(y)-f(x))|=|-1||f(y)-f(x)|=\\ |f(y)-f(x)| = d(y,x)\).
3) Dreiecksungleichung: Man bemerke, dass \(d(x,y) = |f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|\). Die Dreiecksungleichung macht den Rest.
Also ist \( (\mathbb{R}, d) \) ein metrischer Raum. Nun zum eigentlichen Gegenbeispiel. Seien die Folgen \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) mit \(x_n = 0\) und \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\) mit \(y_n = n\) gegeben. Dann gilt:
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n, y_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{\pi}{2} - \arctan(n)| = 0~, $$
aber
$$ d(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n, \lim_{n\rightarrow \infty} y_n) "= d(0, \infty)" ~,$$
was nicht definiert ist.
Das Problem ist hier, dass dem Limes hier jeweils die Standardmetrik zugrundeliegt, obwohl wir uns in einem anderen metrischen Raum bewegen. Denn bzgl. \(d\) ist \(y_n\) konvergent. In dieser Hinsicht ist die Aufgabe aber auch nicht vollkommen präzise gestellt.
