Ist das Spiel fair? Ein modifizierter Würfel

Question

Ein Würfel mit der Beschriftung zweimal die 6, dreimal die 2 und einmal die 1 ist gegeben.

Leon darf für einen Einsatz von 6€ dreimal würfeln. Bei jeder Zwei, die dabei fällt, erhält er eine Sofortauszahlung von a€. Für welchen Wert von a ist dieses Spiel fair?

Answer 1

Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert für den Gewinn der Bank und des Spielers beim Spiel gleich null sein.

p(1) = 1/6

p(2) = 3/6 = 1/2

p(6) = 2/6 = 1/3

Wahrscheinlichkeiten für einzelnen Gewinn für Bank

p für 3 x Niete : (1/2)³ , Gewinn Bank: 6

p für 1xZwei + 2xNiete : (1/2)³*3 , Gewinn Bank: 6 -a

p für 2xZwei + 1xNiete : (1/2)³*3 , Gewinn Bank: 6-2a

p für 3xZwei : (1/2)³ , Gewinn Bank: 6-3a

Erwartungswert

E = (1/2)³ * 6 +  (1/2)³ * 3 * (6 - a) +  (1/2)³ * 3 * (6 - 2a) +  (1/2)³ * (6-3a) = 0

a = 4

Answer 2

Ein Würfel mit der Beschriftung
zweimal die 6,
dreimal die 2 und
einmal die 1 ist gegeben.

Leon darf für einen Einsatz von 6€ dreimal würfeln. Bei jeder
Zwei, die dabei fällt, erhält er eine Sofortauszahlung von a€.
Für welchen Wert von a ist dieses Spiel fair?

Bei jedem Wurf  ist die Wahrscheinlichkeit für eine 2
50 %. Jeder Wurf kostet 2 €.
Bei 4 € Auszahlung für jede geworfene 2 ist das Spiel
auf Dauer ausgeglichen.