Umrechnung von einer rekursiven Formel in eine explizite

Question

Ich soll verschiedene Glieder einer Folge ausrechnen (unter anderm Glied 100). Da dies offensichtlich mit der rekursiven Formel zu umständlich ist, würde ich diese gerne in eine explizite umwandeln. Ich habe dies schon mal probiert und dann durch einsetzen nachkontrolliert, doch leider mache ich etwas falsch.

rekursiv: a_n = 0.4*a_n-1 + 3     wobei a₁ = 1

Mein Versuch der expliziten Formel: 0.4^n-1*a₁ + 3

Answer 1

So nach erneutem Überlegen:

die richtige explizite Formel würde aussehn für n > 1

$$ a_n = \left( \frac{2}{5} \right)^{n-1} \cdot a_1 + 3 \cdot \sum_{k=0}^{n-2}\left( \frac{2}{5} \right)^k $$

die summe kannst du mit der geometrischen reihe ausrechnen

Gruß

Comments

Irgendwie stimmt dies auch nicht ganz, denn wenn ich nachkontrolliere erhalte ich:

a₃ mit rekursiver Formel: 4.36

a₃ mit expliziter Formel: 6.16

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Hey habs upgedated, jetzt stimmt es.

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Wie kommen sie auf den Teil nach 3? Weshalb steht oberhalb des Summenzeichens n-2 und warum (2/5)^k und nicht (2/5) ^k-1?

Meine mathematischen Kenntnisse reichen nicht aus, um dies zu verstehen ;)

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a_2 = 0,4*a_1 + 3
a_3 = 0,4*(0,4*a_1 +3) +3 = 0,4²a_1 +0,4*3 + 3
a_4 = 0,4*a_3 + 3 = 0,4³a_1 + 0,4²*3+0,4*3 + 3
-
.
.
a_n = 0,4^n-1*a_1+0,4^n-2*3 + 0,4^n-3*3 + ... + 0,4*3 + 0,4⁰*3

3 Ausklammern und den Rest als Summe schreiben.


Gruß
Yakyu

Answer 2

Probier es mal mit

an = 5 - 10·(2/5)^n

Du kannst zeigen das dieses die Gleichung erfüllt.

Comments

Korrekt, ergibt beim Nachkontrollieren das gleiche wie bei der rekursiven Form. Jedoch kann ich leider nicht nachvollziehen, wie du darauf kommst..

Die Formel für die explizite Schreibeweise ist ja: a_n = q^n-1*a1

In unserem Beispiel ist q =0.4 und a1 = 1

Doch deine Formel sieht ja komplett anders aus

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Es gibt für genau den Fall eine Formel aus der Finanzmathematik

a = anfangsbestand

q = aufzinsungsfaktor

d = additive konstante

ax = (q^x·(a·(q - 1) + d) - d·q)/(q·(q - 1))

Ich setzte ein

a = 1

q = 0.4

d = 3

ax = (0.4^x·(1·(0.4 - 1) + 3) - 3·0.4)/(0.4·(0.4 - 1)) = 5 - 10·0.4^x

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Diese Formel lag mir leider nicht vor, wie allgmein kaum Theorie..

Wie genau kommst du auf 10? Wenn ich 0.4-1 rechne ergibt dies -0.6. Addiere ich dazu 3 so erhalte ich 2.4 und nicht 10

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Warum muss man nur immer alles ganz kleinschrittig vorrechnen. Eigentlich sollte es doch kein Problem sein so einen Term zu vereinfachen.

ax = (0.4^x·(1·(0.4 - 1) + 3) - 3·0.4)/(0.4·(0.4 - 1))

ax = (0.4^x·(1·(-0.6) + 3) - 1.2)/(0.4·(-0.6))

ax = (0.4^x·(2.4) - 1.2)/(-0.24)

ax = - 10 * 0.4^x + 5