zwei parallel aufeinander zulaufende Straßen...?

Question

kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen:

Zwei parallel aufeinander zulaufende Straßen sollen miteinander verbunden werden. Wenn die eine Straße auf der x-Achse liegt und die andere auf der Geraden mit der Gleichung y= 50, so soll die Funktion f mit f (x)= 1/b (d-x²)² die neue Verbindungsstraße beschreiben.

a) Bestimmen Sie die Parameter b und d

b) Mündet die Verbindungsstraße knickfrei in der beiden bestehenden Straßen?

c) Welchen der beiden Parameter müsste man verändern, wenn die beiden parallelen Straßen statt 50m einen anderen Abstand hätten?

Vielen Dank schonmal im Voraus :-)

Comments

Anknüpfungspunkt untere Straße ( 0 | 0 )
Anknüpfungspunkt obere Straße ( x2  | 50 )
Meiner Meinung nach fehlt hier die Angabe für x2.

Am besten einmal eine Skizze hier einstellen.

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Die Verbindungsstraßenverlaufsfunktion ist eine gerade, ganzrationale Funktion 4. Grades, die entweder nach oben oder nach unten geöffnet ist. Es sind also vier verschiedene mögliche Verbindungsstücke zu erwarten.

Answer 1

Die obige Aufgabenstellung kann unendlich viele Lösungen liefern. Es fehlen Angaben, ohne die eine konkrete Lösung nicht bestimmbar ist. Wünscht man eine knickfreie und auch "hundekurven"freie Verbindung setzt man wie folgt an:
Zunächst muss man die Endstellen kennen, die es zu verbinden gilt.

Wir nehmen mal willkürlich P=(0|0) und Q=(100|50) an

An diesen Punkten muss die Ableitung der Steigung der ankommenden/abgehenden Strecke festgestellt werden - hier ist sie in beiden Fällen Null.

Damit die Kurve einen nicht vom Sessel in den Graben reisst, soll auch die zweite Ableitung an den Endstellen Null sein.

Dann kann man folgende Gleichungen ansetzen:

$$f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$$
$$f'(x)= 5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$$
$$f''(x)= 20ax^3+12bx^2+6cx+2d$$
I: $$f(0)= 0$$$$0= f$$
II:$$f(100)= 50$$$$50= a100^5+b100^4+c100^3+d100^2+e100+0$$
III:$$f'(0)= 0$$$$0= e$$
IV:$$f'(100)= 0$$$$0= 5a100^4+4b100^3+3c100^2+2d100+0$$
V:$$f''(0)= 0$$$$0= 2d$$
VI:$$f''(100)= 0$$$$0= 20a100^3+12b100^2+6c100+0$$
dank der praktischen Werte reduziert sich das Gleichungssystem auf:$$$$
II:$$50= a100^5+b100^4+c100^3$$
IV:$$0= 5a100^4+4b100^3+3c100^2$$
VI:$$0= 20a100^3+12b100^2+6c100$$
etwas günstigere Parameter herbeimultiplizieren:$$$$
II:$$\frac{150}{100^3}= 3a100^2+3b100+3c$$
IV:$$0= -5a100^2-4b100-3c$$
VI:$$0= 10a100^2+6b100+3c$$
addieren:$$$$
II+IV:$$\frac{150}{100^3}= -2a100^2-b100$$
IV+VI:$$0= 5a100^2+2b100$$
wieder angenehme Parametrierung:$$$$
II+IV:$$\frac{300}{100^3}= -4a100^2-2b100$$
IV+VI:$$0= 5a100^2+2b100$$
und addieren:$$$$
(II+IV)+( IV+VI):$$\frac{300}{100^3}= a100^2$$
(II+IV)+( IV+VI):$$\frac{300}{100}= a$$
$$a=3$$

Comments

irgendwo hab ich mich wohl verrechnet - aber dazu mehr morgen abend ...
Das Prinzip stimmt jedenfalls!

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Besteht überhaupt noch Interesse an der Fragestellung ?

Immer ein bissl schwierig bei den Forengästen - weiss der Geier, ob die da jemals wieder reingucken ...