Potenzen der imaginären Einheit i.

Question

hallo ihr Lieben,

ich bräuchte Hilfe!! und zwar das Thema behandelt die komplexen Zahlen!!

i=1

-i = -1

i^2= 1

i^3= -1

i^4= 1  .....das sollte stimmen oder?

meine Berechnungen wären

a.) ( 1-i) (1+i)   = 1^2 +i^2

b.) √2/ 1+i    =  erweitern mit 1-i = * 1-i/1-i = √2 *(-i) √2/ 1-i+i-i² 

c.)1+i/1-i = 1+i / 1-i * 1+i/1+i = 1* i +i² / 1+i-i -i

bei der Division weiss ich, dass ich mit dem Nenner erweitern muss aber das sich jedoch das vorzeichen ändert. Ich muss jeweils die aufgaben berechnen und eine skizze zeichnen.

Könnte mir jemand bei der Skizze weiterhelfen und nachschaun ob ich richtig ansatzweise gerechnet habe???

LIEBE GRÜße

und VIELEN DANK

Comments

Ok, fangen wir vorne an:

i = 1 ist Unsinn. Was wolltest Du damit ausdrücken?

Richtig wäre etwa: i^0 = 1.

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-i = -1 ist ebenfalls falsch.

Richtig wäre etwa: i^1 = i

(falls das gemeint war.)

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i^2 = 1 ist auch nicht richtig.

Es ist i^2 = −1.

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i^3 = -1 ist nicht richtig, vielmehr ist

i^3=  -i.

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i^4 = 1  ...das sollte stimmen oder?

Juhu, das stimmt!

Von nun an wiederholt es sich. Es ist also:

i^0 = 1 = i^4 = i^8 = ...

i^1 = i = i^5 = i^9 = ...

i^2 = −1 = i^6 = i^10 ...

i^3 = −i = i^7 = i^11 ...

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ui hatte ja alles fast nicht richtig. dankeschön

meine rechenbeispiele in wie weit hab ich diese richtig gelöst ???

LG

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Man lernt wohl am meisten aus seinen Fehlern, so man sie denn als solche erkennt. Auch Deine Rechenbeispiele sind in dem genannten Sinn zum Lernen geeignet (vgl. die Antwort). Bei der Skizze geht es nur darum, die (richtigen) Ergebnisse in die Gaußsche Zahlenebene einzutragen. Der Realteil wird dabei auf der waagerechten Achse aufgetragen und der Imaginärteil auf der Senkrechten.

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vielen lieben Dank für die Erklärung! Ich werde jetzt die Skizze und noch mehr beispiele üben!!!

Answer 1

bei deinen i am Anfang stimmt außer i⁴ = 1 nicht viel

i² = -1 ist die Aussage um die sich bei komplexen Zahlen alles dreht. Alles andere wird von dieser Aussage abgeleitet.

i ist dann also nicht = 1. i wird bei komplexen Zahlen nicht weiterberechnet, sondern bleibt einfach als i weiter stehen.

i³ = i² * i = (-1) *i = -i

i⁴ = i² * i² = (-1) * (-1) = 1

-i ist -i

a) ( 1-i) (1+i) = 1 +i -i -i² = 1-(-1) = 2

b) (√2) / (1+i)  = (√2 * (1 - i) / [(1+i)(1 - i)]  = √2 * (1-i) / 2 = (1-i) / √2

c) (1+i) / (1-i) = (1+i)² / (1-i) (1+i) = 2i / 2 = i

Immer daran denken, dass i² = -1 ist. Du hast bei dir überall noch i² stehen. Das kannst du alles mit -1 ersetzen. Das ist ja genau der Sinn und Zweck bei komplexen Zahlen. ^^

Comments

wenn ich bei einem ergebnis nur 2 stehen habe muss ich den Realteil also auf der Achse x um 2 schritte gehen mein imaginärteil = 0

beim ergebnis wurzel2 /2 - wurzel 2/2i wie komme ich hier auf meine punkte im koordinatensystem ?? :( mir fehlen leider die Grundlagen noch etwas sehr !

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Ja, richtig
Realteil auf x-Achse, Imaginärteil auf y-Achse

Bsp.: 2 + 3i

x-Achse : 2

y-Achse: 3

(1-i) / √2 = (1/√2) * 1 - (1/√2) * i

Realteil auf x-Achse: (1/√2)

Imaginärteil auf y-Achse: -(1/√2)

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ich frag mich nur wie ich das genau einzeichne hab zum beispiel nur i bei der lösung :S das liegt im realteil also auf der x achse

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Wenn du als Ergebnis nur i hast, dann ist Realteil gleich null, Imaginärteil = 1

also x-Achse: 0

y-Achse: 1

Du kannst i ja auch schreiben als 0 + 1*i

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und bei 2 = 2+0i ?? also nur 2 einzeichnen beim realteil

√2 /2 - √2/2i= 0,7 - 0,7i richtig ????

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beides richtig

Answer 2

(1 - i)·(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2

√2/(1 + i) = √2·(1 - i)/((1 + i)·(1 - i)) = √2·(1 - i)/2 = √2/2 - √2/2·i

(1 + i)/(1 - i) = (1 + i)^2/((1 - i)(1 + i)) = 2·i/2 = i

Comments

hallo

warum hab ich den bei bsp b.) auf einmal 2i im nenner stehen ??

√2·(1 - i)/2 = √2/2 - √2/2·i  

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Das i steht nicht im Nenner.

Das sind √2/2 · i und nicht √2/(2·i)