1. Es sei (an)n ∈ N0 die Folge der Fibonacci-Zahlen . Ferner seien
σ≤τ die Losungen der Gleichung x2 - x - 1 = 0 und
xn :=an /an-1, n∈ N.
Bestimmen Sie den sog. Goldenen Schnitt τ, und zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) an=1/√5(τn+1-σn+1), n ∈ No
(b)limn→∞xn=τ
Beweis von a) durch Induktion.Offensichtlich gilt die Aussage für \(n=0\) sowie \(n=1\).Zeige die Aussage für \(n+1\) unter der Voraussetzung, dass die für \(n\) gilt:$$\begin{aligned}a_{n+1}&=a_n+a_{n-1}\\&=\frac1{\sqrt5}\left(\tau^{n+1}-\sigma^{n+1}+\tau^n-\sigma^n\right)\\&=\frac1{\sqrt5}\Bigg(\tau^{n+1}\left(1+\frac1{\tau}\right)-\sigma^{n+1}\left(1+\frac1{\sigma}\right)\Bigg)\\&=\frac1{\sqrt5}(\tau^{n+1}\cdot\tau-\sigma^{n+1}\cdot\sigma)\\&=\frac1{\sqrt5}(\tau^{n+2}-\sigma^{n+2}).\end{aligned}$$
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