Hilfe bei Ableitung von Integralen ... = (c-d)(F(Q)

Question

Gegeben:

$$\frac { d ( a - b ) \int _ { 0 } ^ { Q } Q - x f ( x ) d x } { d Q } = ( a - b ) F ( Q )$$

Wie kann ich das nachvollziehen?

Stimmt dann auch das Folgende?

$$\frac { d ( c - d ) \int _ { Q } ^ { \infty } x - Q f ( x ) d x } { d Q } = ( c - d ) F ( Q )$$

Wäre super, wenn ihr mir das kurz erklären könntet.

Answer 1

Hi,
ich nehme an, wir reden über diesen Ausdruck
$$ \frac{d}{dQ} \left[ (a-b)\int_0^Q(Q-x)f(x)dx \right] $$
Du hast da ein paar Klammern vergessen. Zur Aufgabe
$$ \frac{d}{dQ} \left[ (a-b)\int_0^Q(Q-x)f(x)dx \right]=$$ 
$$(a-b)\frac{d}{dQ}\left[  Q\int_0^Q f(x)dx-\int_0^Qxf(x)dx \right] $$
Auf den ersten Term die Produktregel und den Fundamentalsatz der Integralrechnung anwenden ergibt
$$ (a-b)\left[ \int_0^Qf(x)dx+Qf(Q) - Qf(Q)\right]=(a-b)F(Q) $$
mit
$$ F(Q)=\int_0^Qf(x)dx $$

Bei der zweiten Aufgabe frage ich mich, ob die Funktion \( f(x) \) nicht noch spezielle Bedingungen erfüllen muss. Gibt es da noch was oder soll das für jede integrierbare Funktion gelten.

Comments

Das erste habe ich nun soweit verstanden. Du hast natürlich Recht mit den Klammern. Danke.

Für das zweite gibt es keine weiteren Bedingungen außer, dass F(X) in [0,∞) differenzierbar zu f(x) sein. Weißt du, wie man das lösen kann?

---

Ich kann Deinen Kommentar überhaupt nicht lesen. Knnst Du das nochmal schicken.

---

$$ \frac{d}{dQ}\left[(c-d)\int_Q^\infty(x-Q)f(x)dx\right]=-(c-d)\frac{d}{dQ}\int_\infty^Q(x-Q)f(x)dx= $$
$$ -(c-d) \frac{d}{dQ} \left[ \int_\infty^Qxf(x)dx-Q\int_\infty^Qf(x)dx  \right]= $$
$$ -(c-d) \left[  Q\cdot f(Q)-\int_\infty^Qf(x)dx-Q\cdot f(Q) \right]=-(c-d)\int_Q^\infty f(x)dx $$

Wenn der rechte Ausdruck gleich \( (c-d)\int_0^Q f(x)dx \) sein soll, dann muss gelten
$$ -\int_Q^\infty f(x)dx=\int_0^Q f(x)dx $$ und das heisst es muss gelten, \( \int_0^\infty f(x)dx=0 \)

Deswegen meine Frage nach Zusatzbedingungen an die Funktion \( f(x) \).

---

Vielen Dank für die Antwort. Es hat ein bisschen gedauert bis ich das weiter untersuchen konnte.

Die von dir o.g. Bedingung hält auf alle Fälle nicht.

Meine Idee zu einer weiteren Umformung war nun:

$$\int _ { Q } ^ { \infty } f ( x ) d x = \lceil F ( x ) \rceil _ { Q } ^ { \infty } = F ( \infty ) - F ( Q ) = 1 - F ( Q )$$

Ich habe mal den Vorfaktor weggelassen. Außerdem ist f(x) eine Dichtefunktion und F(x) eine kumulierte Verteilungsfunktion. Daher müsste ja gelten:

$$\begin{array} { l } { F ( \infty ) = 1 } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( x ) d x = 1 } \end{array}$$

Stimmt das soweit?

---

Gilt \( F(\infty)=1 \). Das ist ja auch eine Nebenbedingung. Dann ist \( f(x) \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte Funktion?

---

ich denke das ist soweit in Ordnung. Ich hatte Deinen Satz mit der Dichtefunktion zuerst überlesen, sorry.

Aber die Forderung das f(x) eine Dichtefunktion ist, ist ja auch eine Nebenbedingng. Insofern war meine erste Vermutung doch richtig.