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Aufgabe 4 (Hauptachsentransformation):

Schreiben Sie die Kurve

\( x^{2}-4 x y+y^{2}+10 x+y+12=0 \)

als Matrixgleichung und berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix.


Aufgabe 5 (Fortsetzung Aufgabe 4):

Führen Sie eine Drehung und anschließend mit der quadratischen Ergänzung entsprechend zur Vorlesung eine Verschiebung durch. Welchen Namen hat die Kurve (Ellipse, Hyperbel, Parabel, Geradenpaar)?


Aufgabe 6:

Skizzieren Sie die Kurve aus Aufgabe 4 und die in Aufgabe 5 durch die Hauptachsentransformation erhaltene Kurve. Verwenden Sie z.B. Maple.


Aufgabe 7:

Zeigen Sie, dass für die in den Aufgaben 4 und 5 berechneten Matrizen gilt: \( R^{T} A R=D \)



Meine Lösung zur Aufgabe 4:

\( x^{2}-4 x y+y^{2}+10 x+y+12=0 \)

\( \left(x_{1} y\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+(10,1)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+12=0 \)


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1 Antwort

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Deine umschreibung auf eine Matrixgleichung ist richtig.

Bei den Eigenvektoren hast du Fehler gemacht.

DET([1 - x, -2; -2, 1 - x]) = x^2 - 2·x - 3 = 0

Die Eigenwerte sind demzufolge x = 3 ∨ x = -1

Du solltest die Eigenvektoren [√2/2, √2/2] und [- √2/2, √2/2] bekommen

Schaffst du alleine weiter ?

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Danke ich hab mich wohl bei den Eigenwerten vertan. Ich habe mal alles was ich danach berechnet habe nochmal beigefügt :)

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