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Ich habe folgendes Problem bei der Aufgabe:

Zeigen Sie dass n/2 < Σ (von k=1 bis 2n-1) 1/k <= n für alle n ∈IN gilt.

IA und IV habe ich gezeigt, nur ich weiß nicht, wie ich beim IS vorgehen soll. Das Problem liegt in der Summe...

Ich bitte euch mir zu helfen, ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir einen Ansatz oder wenn möglich einen Lösungsweg zu geben.

:-)

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Du hast die Induktionsvoraussetzung gezeigt? Wie und wozu?

1 Antwort

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Für den Induktionsschritt betrachtest du erst mal die Summe
von k=1 bis 2^{n+1} - 1       (************)

Das ist die Summe

von k=1 bis 2n - 1   plus die Summe von k=2n bis  2n+1 - 1

Die erste Summe ist  laut Induktionsvoraussetzung größer  n-halbe

Die zweite Summe besteht aus  2n Summanden, die je größer als der

letzte sind. Also ist die 2. Summe größer als

2n  / (2n+1 - 1)   >   2n   /  2n+1   =    1/2

Also ist die Summe (************) größer als n-halbe + 1/2

also größer als (n+1)-halbe.

Außerdem ist nach Ind.vor. die erste Summe kleiner n und die zweite

ist kleiner als   2n mal der erste Summand, also kleiner

als   2n   /   2n   = 1

Also beide zusammen (Das ist aber (**********) kleiner als n+1.

q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Erstmals vielen Dank! :)

Endlich habe ich es verstanden, wie man es löst :D

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