es geht um die Aufgabe i:
Den Induktionsanfang konnte ich natürlich zeigen, auch die Summe auseinanderziehen ist kein Problem.
Woran es scheitert ist das Anwenden der Induktionsvoraussetzung.
Hier bräuchte ich ein wenig Hilfe!
Hi,$$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \sum_{k=4}^n \left( \frac{1}{2} \right)^k \\= \frac{8}{3} + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} - \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \right) \\= \frac{8}{3} - \frac{15}{8} + 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{67}{24} - \left( \frac{1}{2} \right)^n $$
Ist man damit jetzt fertig?
Ja klar, wenn Du jeden Schritt verstanden hast. Der letzte Term ist ja definitiv kleiner als 3, sogar kleiner als \( \frac{67}{24}= 2.792 \)
Wie kommst du in Zeile 2 auf summe (1/2)^k?
Das ist die gegebene Abschätzung für die Fakultät.
Ok . Kannst du noch den Übergang von Zeile 2 zu Zeile 3 erklären?
Das ist die Anwendung der Formel für die geometrische Reihe. Da die aber mit Index \( 0 \) anfängt, müssen die ersten 4 Terme wieder abgezogen werden. Also die mit Index \( 0 \) bis \( 3 \). Dann alles ausrechnen.
