Induktionsbeweis: ∀n ∈ ℕ0 : ∑(k=0 bis n) 3k = (3^(n+1)-1)/2

Question

Beweisen Sie per vollständiger Induktion:
∀n ∈ ℕ_{0 : ∑(k=0 bis n) 3}^k = (3^(n+1)-1)/2

Also Induktionsanfang, -voraussetzung und -behauptung ist soweit klar.
Beim Induktionsschritt hab ich jetzt:

∑(k=0 bis n+1) 3k = ∑(k=0 bis n) 3k + 3*(n+1) = (3^(n+1)-1)/2 + 3*(n+1)

Aber da hörts irgendiwe auf. Ich hoffe ihr könnr mir helfen.

Answer 1

$$\sum \limits_{k=0}^{n} 3^k = \frac{3^{k+1}-1}{2}$$

Ind. anfang: n=0 einsetzen gibt 1=1   Passt !

Angenommen es gilt für ein n die Formel

$$\sum \limits_{k=0}^{n} 3^k = \frac{3^{n+1}-1}{2}$$

Dann gilt für n+1:

$$\sum \limits_{k=0}^{n+1} 3^k = \sum \limits_{k=0}^{n+1} 3^k + 3^{n+1}$$

Induktionsannahme einsetzen gibt

$$= \frac{3^{n+1}-1}{2}  +  3^{n+1} =  \frac{3^{n+1}-1}{2}  + \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{2} = \frac{3 \cdot 3^{n+1}-1}{2}== \frac{3^{n+2}-1}{2} $$

Also das gewünschte Ergebnis.

Comments

Danke... ich hab grad gesehen, dass Sie es richtig gemacht haben und ich zu Blind war 3^k zu lesen. Ich hab 3k gelesen.. kein wunder warum es nicht geklappt hat.

Vielen Dank! :D