Fallunterscheidung |(x+1)/(x-4)|>7

Question

Ich scheine es immer noch nicht mit der Fallunterscheidung begriffen zu haben.
Bitte sagt mir, was ich richtig und was ich falsch mache und worauf ich achten muss.

Desweiteren wie ich die Lösungsmenge aufschreiben soll.

Aus WA werde ich nicht schlau:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C%28x%2B1%29%2F%28x-4%29%7C%3E7

Answer 1

Betragsgleichungen und -ungleichung können
ziemlcih verwirren. Am besten man untersucht
alle Fallunterscheidungen gewissenhaft,

Comments

Hi, vielen Dank für die Mühe.
Was meint dann "pleindespoir" mit seiner Lösung?
Hat er einen Fehler?

Danke.

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Die Antwort von pleindespoir untersuche ich nicht
mehr.
Hier die Grafik zur Funktion.
Die " 7 " wurde von rechts nach links gebracht.
Alles oberhalb von 0 erfüllt die Aussage. Ohne die 4.

Answer 2

$$ |\frac{(x+1)}{(x-4)}|>7 $$
$$ x \in \mathbb{R} \setminus  \{4\} $$
I:$$ x\ge-1 \land x\gt 4 $$
II:$$ x\lt-1 \land x\lt 4 $$
III:$$ x\ge-1 \land x\lt 4 $$
Die Fälle I und II lassen den Bruch positiv - die Betragstriche können also wegfallen:
$$ \frac{(x+1)}{(x-4)}>7 $$
$$ (x+1)>7(x-4) $$
$$ x+1>7x-28 $$
$$ 29>6x $$
$$ \frac{29}6>x $$
da gilt für Fall I : $$ 4\lt x  \lt  \frac{29}6  $$
und für Fall II: $$ x\lt-1 $$

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$$ |\frac{(x+1)}{(x-4)}|>7 $$
$$ x \in \mathbb{R} \setminus  \{4\} $$
III:$$ x\ge-1 \land x\lt 4 $$
Bei Fall III wird der Bruch negativ - die Betragstriche können also wegfallen, wenn das Vorzeichen gewendet wird:
$$ -\frac{(x+1)}{(x-4)}    \gt   7 $$
$$ -(x+1)  \gt  7(x-4) $$
$$ - x-1  \gt  7x-28 $$
$$ 27  \gt  8x $$
$$ \frac{27}8  \gt  x $$
Fall III mit Intervall : $$ -1\le x  \lt  4  $$
gilt $$  x \lt \frac{27}8  $$
Lösungsmenge in diesem Intervall:
$$\mathbb{L}=\{x|-1\le x  \lt  \frac{27}8  \}$$

Answer 3

Eine mögliche Strategie bei anstehenden Fallunterscheidungen besteht darin, diese nach Möglichkeit zu vermeiden. Das gelingt hier durch sofortiges Quadrieren. Da beide Seiten der Ungleichung nichtnegativ sind, ist dies eine Äquivalenzumformung. Dadurch sämtliche Fallunterscheidungen eingespart und die Rechnung bleibt schön kurz. Nach dem Quadrieren und anschließendem Vereinfachen ergibt sich die quadratische Ungleichung
$$ ... \\\,\\ 48x^2-394x+783 < 0\quad\land\quad x\ne4  \\\,\\ \frac { 27 }{ 8 } < x < \frac { 29 }{ 6 }\quad\land\quad x\ne4  \\\,\\ 3\frac { 3 }{ 8 } < x < 4\frac { 5 }{ 6 }\quad\land\quad x\ne4. $$