Kommutativität zeigen - Wie mache ich das?

Question

$$ ∑_n := Bij(M), mit M {1,2,...,n} die Gruppe der bijektiven Abbildungen einer n-elementigen Menge in sich selbst.

Wie zeige ich jetzt, dass

a) ∑₂ kommutativ ist

b) ∑₃ nicht kommutativ ist

c) Gilt n ≥ 3, dann ist ∑_n nicht kommutativ.

Kann mir jemand bitte die Lösungen erklären?$$

Answer 1

a) schreib dir mal alle Bijektionen auf einer 2 elementigen Menge auf (es gibt nur 2) nennen wir sie mal f und g.

Dann zeige, dass \( f \circ g = g \circ f\) gilt.

b) Finde ein Gegenbeispiel, also 2 Bijektionen \( f, g \in \Sigma_3 \), so dass \( f \circ g \neq g \circ f \) (*)

Die Menge \( \Sigma_3\) ist hierbei ebenfalls noch recht überschaubar (sie besitzt 6 Elemente).

c) Zeige dies beispielsweise per induktion, den Anfang hast du mit Aufgabenteil b für n = 3 schon gemacht.

Im Induktionsschritt nimmst du die schon verwendeten Bijektionen f und g aus \( \Sigma_n \) für die  (*) gilt und erweiterst deren Definitionsmenge um das Element \(n+1\) und zwar so, dass \( f(n+1) = g(n+1) = n+1\) dann kannst du mit deiner Voraussetzung schliessen das für diese neuen Bijektionen \( f, g \in \Sigma_{n+1} \) gelten muss

$$ f \circ g \neq g \circ f $$

Gruß