Aloha :)
Die Verknüpfung \(\ast\) ist über \(G=\mathbb R\setminus\{1\}\) definiert:$$x\ast y=\frac{x+y-xy+1}{2}=\frac{2-(xy-x-y+1)}{2}=1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}$$
Wir prüfen, ob \((G,\ast)\) eine kommutative Gruppe ist.
1) Assoziativität:
Seien \(x,y,z\in\mathbb G\), dann gilt:$$(\pink{x\ast y})\ast z=1-\frac{\left((\pink{x\ast y})-1\right)(z-1)}{2}=1-\frac{\left(\left(\pink{1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}}\right)-1\right)(z-1)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=1-\frac{\left(-\frac{(x-1)(y-1)}{2}\right)(z-1)}{2}=1-\frac{(x-1)\left(-\frac{(y-1)(z-1)}{2}\right)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=1-\frac{(x-1)\left({\color{blue}\left(1-\frac{(y-1)(z-1)}{2}\right)}-1\right)}{2}=1-\frac{(x-1)(({\color{blue}y\ast z})-1)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=x\ast({\color{blue}y\ast z})\quad\checkmark$$
2) Kommutativität:
Die Kommutativität ist sofort klar, weil wir \(x\) und \(y\) im Zähler vertauschen können:$$x\ast y=1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}=1-\frac{(y-1)(x-1)}{2}=y\ast x\quad\checkmark$$
3) Existenz eines links-neutralen Elementes:
Ein links-neutrales Element \(e\) darf den Wert des anderen Operanden nicht ändern:$$x\stackrel!=e\ast x=1-\frac{(e-1)(x-1)}{2}=1+(x-1)\cdot\underbrace{\frac{1-e}{2}}_{\stackrel!=1}\implies e=-1$$Ein links-neutrales Element der Gruppe ist daher \((e=-1)\).
Bemerkung:
Es reicht zu zeigen, dass es ein links-neutrales Element \(e\) gibt \((e\ast x=x)\).
Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Neutralität.
Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.
4) Exisitenz eines links-inversen Elementes:
Für ein links-inverses Element \(x_0\) zu \(x\) muss gelten:$$x_0\ast x=e\implies 1-\frac{(x_0-1)(x-1)}{2}=-1\implies(x_0-1)(x-1)=4\implies$$$$x_0=1+\frac{4}{x-1}=\frac{x+3}{x-1}$$
Für jedes \(x\in G\) gibt es also ein links-inverses Element \(x_0=\frac{x+3}{x-1}\in G\).
Bemerkung 1:
Beim inversen Elment wird klar, warum die \(1\) nicht in \(G\) enthalten sein darf.
Bemerkung 2:
Es reicht zu zeigen, dass es ein links-inverses Element \(x_0\) gibt \((x_0\ast x=x)\).
Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Inversität.
Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.
