f'(0) bestimmen mit Hilfe des Einschließungskriterium

Question

Meine Aufgabe lautet:

Gegeben sei f: R nach R mit f(x) = x² * sin(1/x) für x ungleich 0
                                                       0                 für x gleich 0


Berechnen Sie f'(0). Hinweis: Verwenden Sie zur Grenzwertberechnung das Einschließungskriterium.

Ich verstehe aber leider nicht das Einschließungskriterium und komme somit auch nicht bei der Aufgabe weiter :(

Comments

Das Einschließungskriterium ist mir leider nicht bekannt.

Falls x gegen 0 geht geht 1/x gegen unendlich.
Der Sinus ist aber oszilierend, das er wechselt zwischen
-1 und 1 falls x gegen unendlich geht. [ sin ( ∞ ) ] ´
dürfte sich nicht bilden lassen. Hatten wir hier schon einmal.

Answer 1

Das ist wohl das Kriterium:

Wenn zwei Folgen  an  und bn den gleichen Grenzwert g haben
und für alle n asu IN die Folgenglieder zwischen an und bn liegen,
genauer   an >=  cn  >=  bn für alle n aus N
hat auch cn den Grenzwert g.

Wenn du bei deiner Fkt den Differenzenquotient bei 0 bildest,
etwa   (f(o+h) + f(0) )  / h
kannst du kürzen und hast     h * sin(1/h)

Das liegt aber zwischen   -h und h.
Für h gegen 0 gehen   -h   und  h  auch gegen 0 und
damit auch der Differenzenquotient.

Also   f ' (0) = 0