Hallo, wie löse ich folgendes Beispiel?
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Sandwich Kriteriums:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-cos(n^{2})}{4n};$$
Wäre super, wenn das jemand Schritt für Schritt hier erklären könnte damit ich es verstehe. Danke!
\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-cos(n^{2})}{4n};\)
Es gilt immer \( -1 \le cos(n^{2}) \le 1 \)
==> \( \frac{n-1}{4n} \le \frac{n-cos(n^{2})}{4n} \le \frac{n+1}{4n} \)
Rechte und linke Seite haben beide Grenzwert 1/4, Mitte also auch.
Danke und wie geht das bei einer Wurzel? Ist dann -1 <= Wurzelinhalt <= 1?
Wurzel aus wem ?
Wenn die Wurzel über dem ganzen Bruch steht
und der Bruch selbst gegen 1/4 geht, dann die
Wurzel gegen 1/2.
Na ja zum Beispiel für eine solche Aufgabe, bei Brüchen ist es mir jetzt klar, gut erklärt, aber da kenne ich mich noch nicht so richtig aus: $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^{n+1}-2^{2n}};$$
Besser erst mal was umformen:
\( \sqrt[n]{5^{n+1}-2^{2n}} = \sqrt[n]{5\cdot5^{n}-4^{n}} = 5\cdot \sqrt[n]{5-(\frac{4}{5})^{n}} \)
(4/5)^n geht gegen 0 also bleibt n-te Wurzel aus 5, das geht
gegen 1 und der gesamte Grenzwert ist 5.
Du hast ja oben was mit -1 <= cos(n²) <= 1, aber wie wende ich das hier an?
Bei der Wurzel kommt doch gar kein cos vor.
Ja das weiß ich, aber so in der Art meinte ich
Ein anderes Problem?
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