Untervektorraum von fun(ℝ,ℝ), Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei \( \operatorname{fun}(\mathbb{R}, \mathbb{R})=\{f \mid f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist eine Abbildung \( \} . \) Zeigen Sie, dass durch \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \) und \( (\lambda f)(x)=\lambda f(x) \) eine \( \mathbb{R} \)-Vektorraumstruktur auf fun( \( \mathbb{R}, \mathbb{R}) \) definiert wird. Beweisen oder widerlegen Sie:

(i) \( U=\{f \in \operatorname{fun}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(7)=0\} \) ist ein Untervektorraum von fun( \( (\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)

(ii) \( U=\left\{f \in \operatorname{fun}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid-x^{2} \leq f(x) \leq x^{2}\right. \) für alle \( \left.x \in \mathbb{R}\right\} \) ist ein Untervektorraum von fun( \( \mathbb{R}, \mathbb{R}) \)

Answer 1

damit du zeigst, dass eine Menge mit den genannten Verknüpfungen ein VR ist musst du nur die Eigenschaften der Definition eines VR  überprüfen, also in erster Linie, dass die Menge abgeschlossen ist unter diesen Verknüpfungen.

Tipps zum Rest: (i) ist richtig , (ii) ist falsch->Gegenbeispiel

Gruß

Comments

danke für die Antwort:)

ich habe die erste Teil gelöst, aber weiß nicht genau, ob es richtig ist. Also:

i) U={f ∈fun(R->R)|f(7)=0} UR?

Es seien:

1) U≠∅ : z.b f(x)=0 für alle x  ∈ R

2)f,g ∈ U: (f+g)(7)=(f+g)(0)

f ∈ U ⇒ f(7) = f(0)

g ∈ U ⇒ g(7) = g(0)

⇒f(7)+g(7)=f(0)+g(0)

(f+g)(7)=(f+g)(0)

3) f ∈ U , λ  ∈ R:f(7)=f(0)

λf(7)=λ(0)

(λf)(7)=(λf)(0)⇒ UVR      Ist das richtig? Für die zweite teil habe ich keinen beispiel gefunden. :(

Grüße

---

ich denke ich kann deine Argumentation nachvollziehen und die Vorgehensweise ist eigentlich schon richtig allerdings schreibst du immer wieder

f(7) = f(0) bzw. g(7) = g(0) was falsch ist und sehr verwirrend aussieht

f(7) = g(7) = 0 ist doch das was du eigentlich brauchst

für die zweite: guck dir doch mal f(x) = 0,5*x^2 an und schau mal was mit 3f passiert.