Zeigen das Menge einen Untervektorraum des Raumes der Funktionen bildet

Question

ich bereite mich gerade für eine Klausur vor, und bei einer Übungsaufgabe bin ich mir ein wenig unsicher wie ich das Korrekt lösen soll.

Ich soll zeigen, dass im Raum V Abb(R,R) die Menge

U := { f ∈ V | f(x) = f(-x)} einen Untervektorraum bilden.

Das die Nullfunktion Teil von U ist ist klar, aber wie mache ich das mit der Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation und Addition?

Bei der Addition hatte ich mir 2 Elemente f,g ∈ U genommen eine weitere Funktion v:= f+g definiert und dann ganz Blöd v(x) = f(x)+g(x) = f(-x) + g(-x) = v(-x) geschrieben.

Sieht für mich ehr unbefriedigend aus, würde mich über eine kurze Erklärung freuen, ob ich das so lassen kann oder wie ich das ändern muss, dass es Korrekt wird.

Answer 1

Hi,
es sind drei Dinge zu zeigen
$$ (1) \quad V \ne \emptyset  $$
$$ (2) \quad u+w \in V  \text{ für } u,w \in V$$
$$ (3) \quad \alpha \cdot u \in V \text{ für } \alpha \in \mathbb{R} \text{ und } u \in V $$

(1) hast Du ja schon, weil die Nullabbildung eine gerade Abbildung ist.

(2) \( (u+w)(x)=u(x)+w(x)=u(-x)+w(-x)=(u+w)(-x)  \)

(3) \( (\alpha u)(x) = \alpha \cdot u(x) = \alpha \cdot u(-x) = (\alpha u)(-x) \)