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Sei D c R^n , sei (fk) eine Folge beschränkter Funktionen fk: D →  R, und sei f: D → R beschränkt.

Zeigen Sie:

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left\|f_{k}-f\right\|_{\infty}=0<=>\left(f_{k}\right) \) konvergiert auf \( D \)

gleichmäßig gegen f.

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Die Behauptung ist im Grunde eine Abwandlung der Definition für gleichmäßige Konvergenz. Welche Definition verwendet ihr denn?

(fk) heißt auf D gleichmäßig konvergent gegen f:D-> R^m, wenn gilt: für alle epsilon > 0 existiert ein k0 aus N sodass |f(x)-fk (x)| < epsilon für alle x aus D und k>= k0


Kannst du damit was anfangen und mir weiterhelfen?

1 Antwort

+1 Daumen

du musst hier ein wenig mit den einzelnen Definitionen arbeiten:

Zu allerst bedeutet

$$ \lim \limits_{k \to \infty} \| f_k - f \|_{\infty} = 0 $$

mit der Definitions der Supremumsnorm, dass

$$ \lim \limits_{k \to \infty} \sup \limits_{x \in D} | f_k(x) - f(x) | = 0 \quad (*)$$

Da alle Funktionen beschränkt sind, können wir hier für das Supremum schreiben:

$$ \delta_k := \sup \limits_{x \in D} | f_k(x) - f(x) | < \infty \quad \forall k \in \mathbb{N}$$

Insbesondere bedeutet dies für alle \( k \in \mathbb{N} \)

$$ |f_k(x) - f(x) | \leq \delta_k \quad \forall x \in D $$

Schreiben wir nun \( (*) \) um:

$$\lim \limits_{k \to \infty} \delta_k = 0 $$

Das bedeutet ja grade, dass es \( \forall \varepsilon > 0 \) ein \(k_0 \in \mathbb{N} \) gibt, so dass

$$ \delta_k < \varepsilon \quad \forall k \geq k_0 $$

Mit der Definition von \( \delta_k \) heißt das

$$ | f_k(x) - f(x) | < \varepsilon \quad \forall k \geq k_0 \quad \forall x \in D $$

Was dir wiederum bekannt vorkommen müsste.

Gruß

Avatar von 23 k

Ok vielen dank. Und die Aussagen sind alle äquivalent?!!

Diese Überlegung sei dir überlassen ;)

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