Sei f eine beschränkte und differenzierbare reelle Funktion. Zeige: Es gibt Folge (xn) s.d. lim f'(xn) =0.

Question

Existenz einer Folge beweisen:

(a) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine beschränkte und differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) existiert mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0 \).

(b) Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) eine gleichmäkig stetige Funktion. Zeigen Sie, dass \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \) für \( x_{0} \in\{a, b\} \) existiert.

Comments

a) scheint logisch: Wenn sich eine Funktion immer in einem beschränkten Bereich bewegen soll, wird sie entweder mäandrieren oder sich zumindest asymptotisch einem endlichen Wert annähern.

Im mäandrierenden Fall, geht die Steigung irgendwo in ein Gefälle über. Aufgrund der stetigen Differenzierbarkeit, hat sie dort dann genau die Steigung 0. Nenne diese Stelle s und definiere xn:= s + 1/n. So gilg lim f ' (xn) = 0 für n gegen unendlich.

Im Fall, wo sie sich einem endlichen Wert asymptotisch annähert ist lim f ' (xn) = 0 für xn gegen unendlich als z.B, (xn):=n.

Hoffe, du bringst das formal genug auf's Papier.

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Warum ist denn die Ableitung von  f  stetig?

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Stimmt. Beschränkt und differenzierbar heisst zumindest, dass die Funktion selbst stetig ist. Wieviel mehr man da noch rauslesen kann, musst du in deinen Unterlagen nachprüfen.