Komplexe Zahlenebene: Skizzieren Sie die Mengen

Question

Aufgabe - Komplexe Zahlenebene:

Gegeben seien die Abbildungen

\( f_{1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto(4+3 \mathrm{i}) z \text { und } f_{2}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto z^{2} \)

sowie die Mengen

\( \begin{array}{l} M_{1}=\left\{z \in \mathbb{C}|| z \mid=\frac{1}{2}\right\} \\ M_{2}=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)=1\} \text { und } \\ M_{3}=\left\{z \in \mathbb{C}|| z-\frac{1}{2} \mid=\frac{1}{2}\right\} \end{array} \)

Skizzieren Sie die Mengen \( M_{1}, M_{2} \) und \( M_{3} \) sowie \( f_{1}\left(M_{1}\right), f_{1}\left(M_{2}\right), f_{1}\left(M_{3}\right) \) und \( f_{2}\left(M_{1}\right) \). \( f_{2}\left(M_{2}\right), f_{2}\left(M_{3}\right) \)

Answer 1

Zeichnest du am besten eher groß
(Einheit 4cm oder so.)
M1  Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1/2 . Alle Punkte auf der Kreislinie gehören zu M1.
M2: Parallele zur i-Achse durch den Punkt (1/0).
M3: Kreis um (1/2 ; 0) mit r=1/2

Mit den Abb'en finde ich das schon was schieruger, aber manche gehen:
bei f1(M1) denke ich, alle Bilder haben den Betrag 2,5 denn |(3+4i)*z| = |3+4i|*|z|=5*0,5 = 2,5
das gibt dann den Kreis um (o/o) mit r=2,5. Das macht auch Sinn, wenn man bedenkt, dass
Multiplikation mit 3+4i ja aus einer Drehung und einer Streckung mit Faktor 5 besteht.
Wenn man die Pfeile von 0 zu den Punkten auf dem Kreis zu M1 alle um den gleichen Winkel dreht
und mit 5 streckt, kommt man zu den Punkten auf dem neuen Kreis.

z.B.  f2(M1) wenn |z|=0,5 dann ist |z^2|=0,25 also Kreis um (o/o) mit r=0,25

Bei den anderen habe ich noch keine Idee.