Komplexe Zahlen: z1 = 1 + i. z2 = - 1/2 + 1/2 i. z1^4 * z2^8=?

Question

Hallo erstmal :=)

Ich habe das Thema Komplexe Zahlen, was ist lediglich nicht ganz so gut im Griff habe...

Ich habe hier Aufgaben, die ich nicht lösen kann, weil ich einfach erstens nicht klar komme, und zweitens nicht weiß wie und was ich rechnen soll.

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte, es auch Schrittweise erklären kann. Vielen dank schonmal voraus für die Mühe...

Aufgabe: 1a)

Sei  $${ z }_{ 1 }=1+i\quad und\quad { z }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } i$$

Mit Hilfe der Polardarstellung von $${ z }_{ 1 }\quad und\quad { z }_{ 2 }$$  berechne man

$${ z }_{ 1 }^{ 4 }{ z }_{ 2 }^{ 8 }$$

b) Auf welcher Kurve der Gauß Ebene liegen die Komplexen Zahlen z, die durch die folgende Gleichung beschrieben werden

$${ \left| z-2i \right|  }^{ 2 }=Re(z+2)$$

(Hinweis: seztzen Sie z=x+yi)

c) Wie lauten die Gleichungen der Lösung?  $${ z }^{ 2 }-4iz=4+{ 2e }^{ -\frac { \pi  }{ 8 } i }$$

Answer 1

Hier mal ein Vorschlag für a)

x = 1 + i,  y = - 1/2 + 1/2 i, x^4 * y^8= ?

x = √2 * e^{iπ/4},

x^4 = (√2)^4 * e^{iπ} = 4*(-1) = -4

y = √(1/2) * e^{3iπ/4} ,

y^8 = (√(1/2))^8 * e^{24iπ/4} = 1/16 * e^{6πi} = 1/16 * 1 = 1/16

x^4 * y^8 = (-4) * (1/16) = -1/4

Nun zu c) 

z^2 - 4iz = 4 + 2e^{-πi/8}        | quadr. Ergänzung

z^2 - 4iz + (2i)^2  = 4 + 2e^{-πi/8} + (2i)^2

(z - 2i)^2 = 2e^{-iπ/8}

(z -2i)₁ = √2 * e^{-iπ/16}, z₁ = 2i + √2 * e^{-iπ/16}

(z-2i)₂ = √2 * e^{15iπ/16}, z₂ = 2i + √2 * e^{15iπ/16}

Ohne Gewähr! Bitte nachrechnen.

Comments

Vielen Dank für deine Mühe und Hilfe....ich werde natürlich versuchen alles nochmal nachzu rechnen.. und wie mache ich das mit b) aufgabenteil b)

---

b) befolge den Tipp.

| x + iy -2i|^2 = Re(x + iy + 2)

| x + (y-2)i |^2 = x + 2

x^2 + (y-2)^2 = x + 2

(y-2)^2 = -x^2 + x + 2

y-2 = ±√(-x^2 + x + 2)

y = 2 ±√(-x^2 + x + 2)

Kontrollieren und dann wenn nötig noch zeichnen.

---

Ist das die Lösung? Ich meine die Aufgabe kam mir richtig lang vor...muss ich das jetzt nur noch zeichnen?