Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Ich beschäftige mich gerade mit dem Satz von Bayes und den totalen Wahrscheinlichkeiten. Hierzu habe ich folgende Definition gefunden:

Theorie:
- Sind die Einzelwahrscheinlichkeiten bekannt, werden bedingte Wahrscheinlichkeiten über den Satz von Bayes berechnet:
$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit $P(B)=P\left(B \mid A_{1}\right) \cdot P\left(A_{1}\right)+P\left(B \mid A_{2}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)+\ldots$
und dem Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten
$P\left(A_{1} \cap \ldots \cap A_{k}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} \mid A_{1} \cap A_{2}\right) \cdot P\left(A_{4} \mid A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \cdot \ldots$

Wie ich die totalen Wahrscheinlichkeiten berechne, ist mir soweit klar.

Meine Frage ist: Muss ich beim Satz von Bayes immer durch die totalen Wahrscheinlichkeit teilen?

Der Satz von Bayes lautet ja: ( P(B I A) * P(A) ) / P(B I A) * P(A) + P(B I A') * P(A')       

' hinter den Buchstaben soll die Notation mit dem Strich über den Buchstaben ersetzen, weil ich nicht weiß wie man diese Buchstaben schreibt.

Gibt P(B I A) * P(A) + P(B I A') * P(A')  also die totale Wahrscheinlichkeit an?

Comments

Fehlt hier nicht noch ein GLEICH und Klammern? 

( P(B I A) * P(A) ) / P(B I A) * P(A) + P(B I A') * P(A')     

wenn man Punkt-vor Strichrechnung beachtet?

Meinst du mit totaler Wahrscheinlichkeit die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die Bedingung erfüllt ist?

Answer 1

Ja Beim Satz von Bayes teilst du immer durch die totale Wahrscheinlichkeit

P(A | B) = P(A und B) / P(B)

P(B) ist nun eine totale Wahrscheinlichkeit und wird wenn nicht gegeben wie folgt berechnet

P(B) = P(A) * P(B | A) + P(¬A) * P(B | ¬A)