Im (f), ker(f) und V^f bestimmen

Question

folgende Aufgabe, für dich ich keinen Ansatz habe:

Sei V= R^3, f:V → V der Endomorphismus (x,y,z)→(y,x,0).

Man bestimme im f, ker f und V^f.

Welche Untervektorräume werden von f in sich selbst überführt?

Danke :)

Answer 1

(x,y,z)→(y,x,0).   Die Bilder sehen also alle so aus:

(y,x,0)

Das ist ja auch  y*(1,0,0) + x*(0,1,0),

also ist Im(f) der von (1,0,0) und (0,1,0) erzeugte Unterraum von IR^3

ker(f) sind alle Vektoren, deren Bild (0,0,0) ist, also alle, die in den ersten beiden

Komponenten je eine Null haben         (0,0,z)

also der von (0,0,1) erzeugte Unterraum.

Die Abkürzung V^f kenn ich nicht.

es ist f(0)=0 also wird der 0-Raum in sich abgebildet.

es ist z.B.   f(x,0,0) = (x,0,0), also wird der von (1,0,0) erzeugte

Unterraum auf sich abgebildet.  ebenso mit (0,y,0)

und auch der von beiden erzeugte UR wird auf sich abgebildet.

Comments

V^f sind die Fixpunte von f

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V^f sind die Fixpunte von f

wegen dem UVR, ist es nicht so, dass wenn f(x,0,0) = (y,0,0) weil das bild ja (y,x,0) ist??

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Oh ja, da hatte ich nicht aufgepasst.

Bei der Überlegung davor auch nicht, da musst du

das auch korrigieren.

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ja moment, was muss ich da alles korrigieren? kannst du das nochmal richtig aufscchreiben bitte?

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Ab hier:

es ist z.B.   f(x,0,0) = (0,x,0), also wird der von (0,1,0) erzeugte

Unterraum auf sich abgebildet.  ebenso mit (0,y,0)

und auch der von beiden erzeugte UR wird auf sich abgebildet.

Für fixpunkte brauchst du nur f(x,y,z) = (x,y,z) auszuwerten
wegen f(x,y,z) = (y,x,0)  gilt   x=y  und y=x   und z=0
Also fixpunkte alle von der Form (a,a,0)