Zeigen Sie, dass V die innere direkte Summe aus ker φ und imφ ist.

Question

Aufgabe:

Sei φ : V → V eine lineare Abbildung, für die φ² = φ gilt. Zeigen Sie, dass V die innere direkte Summe aus ker φ und imφ ist.

Comments

Betrachte die Gleichheit

v = [v - φ(v)] + φ(v)

für V = ker φ + im φ.

Für diekte Summe:

w ∈ ker φ ∩ im φ, schreibe w = φ(v) (w ist im Bild)

0=φ(w)=φ(φ(v))=φ(v)=w

(Erste Gleichheit: w liegt im Kern)

Also ist ker φ ∩ im φ = {0}

Answer 1

Schön auch hier:

https://www.mathelounge.de/797075/angenommen-gilt-die-komposition-zeigen-sie-dass-dann-ker-gilt