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folgende Aufgabe, für dich ich keinen Ansatz habe:


Sei V= R3, f:V → V der Endomorphismus (x,y,z)→(y,x,0).

Man bestimme im f, ker f und Vf.

Welche Untervektorräume werden von f in sich selbst überführt?


Danke :)

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(x,y,z)→(y,x,0).   Die Bilder sehen also alle so aus:

(y,x,0)

Das ist ja auch  y*(1,0,0) + x*(0,1,0),

also ist Im(f) der von (1,0,0) und (0,1,0) erzeugte Unterraum von IR3

ker(f) sind alle Vektoren, deren Bild (0,0,0) ist, also alle, die in den ersten beiden

Komponenten je eine Null haben         (0,0,z)

also der von (0,0,1) erzeugte Unterraum.

Die Abkürzung Vf kenn ich nicht.

es ist f(0)=0 also wird der 0-Raum in sich abgebildet.

es ist z.B.   f(x,0,0) = (x,0,0), also wird der von (1,0,0) erzeugte

Unterraum auf sich abgebildet.  ebenso mit (0,y,0)

und auch der von beiden erzeugte UR wird auf sich abgebildet.

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Vf sind die Fixpunte von f

Vf sind die Fixpunte von f


wegen dem UVR, ist es nicht so, dass wenn f(x,0,0) = (y,0,0) weil das bild ja (y,x,0) ist??

Oh ja, da hatte ich nicht aufgepasst.

Bei der Überlegung davor auch nicht, da musst du

das auch korrigieren.

ja moment, was muss ich da alles korrigieren? kannst du das nochmal richtig aufscchreiben bitte?

Ab hier:

es ist z.B.   f(x,0,0) = (0,x,0), also wird der von (0,1,0) erzeugte

Unterraum auf sich abgebildet.  ebenso mit (0,y,0)

und auch der von beiden erzeugte UR wird auf sich abgebildet.

Für fixpunkte brauchst du nur f(x,y,z) = (x,y,z) auszuwerten
wegen f(x,y,z) = (y,x,0)  gilt   x=y  und y=x   und z=0
Also fixpunkte alle von der Form (a,a,0)

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