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Sei K ein Körper, und

n

∑     aij Xj =0 ,   1≤i≤m

j=1

ein homogenes lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten aij ∈ K. Verifizieren sie explizit, dass die Lösungsmenge L⊂Kn ein Untervektorraum ist.

Mein Lösungsvorschlag:
Die Kriterien überprüfen:

1.) es darf nicht die leere menge sein

2.) Die Addition muss abgeschlossen sein

3.) Die skalare Multiplikation muss abgeschlossen sein.

Dazu habe ich schin im Internet gefunden:


1)

L ist nicht leer, da L zumindest den Vektor (λ1,......,λn) = ( 0 , 0 , ... 0 ) enthält, denn es gilt:

0 * v1 + . . . + 0 * vn = 0

2)

Seien a = ( a1 ,......, an ) und b = ( b1,......, bn ) ∈ W.

Zeige, dass dann auch gilt: ( a + b ) = ( ( a1 + b1 ) , ... , ( an + bn ) ) ∈ L

a = ( a1 ,......, an ) und b = ( b1,......, bn ) ∈ W

=> a1* v1 + . . . + an* vn = 0 und b1* v1 + . . . + bn* vn = 0

=> ( a + b ) * v = ( a1 + b1 ) v1 +  ... + ( an + bn ) * vn

= a1 * v1 + b1 * v1 +  ... + an * vn + bn* vn

= a1* v1 + . . . + an* vn + b1* v1 + . . . + bn* vn

= 0 + 0

= 0

Also ist auch ( a + b ) ∈ L

3.)Sei a ∈ L und λ ∈ K,

Zeige, dass dann auch gilt: λ * a ∈ L

Beweis:

a = ( a1 ,......, an ) ∈ L

=> a * v = a1* v1 + . . . + an* vn = 0

=> ( λ * a ) * v = ( ( λ * a1 ) * v 1+ ... + ( λ * an ) * vn )

K ist Körper also gilt das Distributivgesetz, daher:

= λ ( a1 * v 1+ ... + * an * vn )

= λ * 0

= 0

=> λ a ∈ L

wäre dass so richtig?

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Ich meine das ist Top.
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