Zeigen ob eine Funktion gerade und beschränkt ist. f(x) = e^{-|x|} / (1+x^2)

Question

Muss hier zeigen dass die Funktion gerade und beschränkt ist:

\( f: R \rightarrow R, \quad x \rightarrow \frac{e^{-|x|}}{1+x^{2}} \)

Answer 1

Funktion gerade?

Berechne formal f(-x) und vergleiche mit f(x).

Du wirst feststellen, dass f(-x) = f(x). Daher ist die Funktion gerade.

Funktion beschränkt?

Bestimme eine obere und eine untere Schranke.

Der Zähler schwankt zwischen 1 und 0.

Der Nenner ist grösser oder gleich 1.

Die Funktionswerte liegen daher alle im Intervall (0, 1].

Also: f ist beschränkt.