Aufgaben:
1.) Ableitungen bilden:
a) \( y=x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}} \)
x=3
b) \( y=(x \tan (x))^{n} \)
x=pi/4 ; n=3
c) \( y=\arctan \left(e^{x}\right) \)
x=ln(2)
2.) Grenzwerte untersuchen
\( \lim \left(\frac{x^{n}-1}{n(x-1)}\right) \)
Tipp: Polynomdivision?
b) \( \lim \left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)\right) \)
Tipp: Erweitern?
a)
Kann umgeschrieben werden zu
f(x) = x^{13/9}
f'(x) = 13/9*x^{4/9}
f'(3) = 13/9*3^{4/9} ≈ 2,35
b)
f(x) = x^3*tan(x)^3
f'(x) = 3x^2*tan(x)^3 + x^3*(tan(x)^3)'
= 3x^2*tan(x)^3 + 3*x^3*tan(x)^2/cos(x)^2
f'(π/4) ≈ 4,76
c)
f'(x) = e^x/(e^{2x}+1)
f'(ln(2)) = 2/(4+1) = 2/5
d) und e)
Hier ist nicht klar, wogegen das strebt. Letzteres wäre beispielsweise für x→±∞ klar als √a zu erkennen^^.
Grüße
Ersteinmal danke für deine Antwort, bei d)x->1 und e)x->0+ ich hoffe das du mir mit den Angaben weiter helfen kannst:)
Ich schaus mir daheim an. Wenn Du solange nicht warten willst, kannste gerne eine neue Frage aufmachen ;).
Sodelle, zur d)
Nutze l'Hopital
limx->1 n*x^{n-1} / n = lim x^{n-1} = 1
e)
Richtiges Stichwort. Erweitere ;).
$$\lim_{x\to0} \sqrt{\frac1x + a} - \sqrt{\frac1x} = \lim\frac{\frac1x+a - \frac1x}{\sqrt{\frac1x+a}+\sqrt{\frac1x}}$$
$$ = \lim\frac{a}{\sqrt{\frac1x+a}+\sqrt{\frac1x}} = 0$$
Das geht gegen 0, da der Nenner gegen unendlich geht.
Klar? :)
Gibt es eine alternative zu l'Hopital wurde in der Vorlesung noch nicht besprochen, sollte ich dementsprechend auch nicht benutzen:)
Sry, da müsste ich passen. Eine Alternative zu l'Hospital sehe ich nicht :/.
könntest du mir eventuell noch genauer erklären wie du auf b) kommst? am besten ohne für x eine Zahl ein zu setzten, also ganz allgemein? Wäre super von dir:)
Wie meinste das ohne für x eine Zahl einzusetzen?
Eigentlich ist es nur die Produktregel.
Da wäre es eigentlich nur beim zweiten Summanden interessant. Die Ableitung von tan(x)^3.
Das geht relativ einfach, wenn man tan(x) = u subst. ;).
Sorry, ich meinte für n (3)
f'(x) = 3x2*tan(x)3 + x3*(tan(x)3)'
= 3x2*tan(x)3 + 3*x3*tan(x)2/cos(x)2
Der Teil der mir klar ist, habe ich unterstrichen, wie du auf den Rest Kommst, ist mir unklar, könntest du Schritt für Schritt erklären wie du darauf gekommen bist?
Danke schon einmal im voraus für die Antwort:)
Kettenregel ergibt:
(tan(x)^3)' = 3(tan(x))'*tan(x)^2 = 3*tan(x)^2/cos(x)^2
Na, in spezalisiert Form soltle es generell einfacher sein?
Zumal das so kein Problem darstellen darf, wenn man sich die Schwierigkeit Deiner Aufgaben anschaut Oo.
Probiers doch mal ;).
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