Abelsche Gruppe, Unterraum, Gruppenhomomorphismus. Es sei K ein Körper und G=((1 0), (x 1)), x aus K)…

Question

Es sei K ein Körper und G=((1 0), (x 1)), x aus K)

Zeigen Sie

a) G ist bzgl. Matrizenmultiplikation eine abelsche Gruppe

b) (K,+) und (G,*) sind isomorph, d. h. es gibt einen bijektiven Gruppenhomomorphismus von (K,+) nach (G,*).

 
Es sei U=((x1,x2,x3) aus R^3: 3x1 - 5x3 = 2x2)

a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von R^3 ist.

b) Betsimmen Sie eine Basis von U.

c) welche Dimension hat der Faktorraum R^3/U?

Comments

Das hier wurde soeben verschoben

Answer 1

Anmerkung anstelle von Vektorpfeilen schreibe ich Vektoren v fett.

Es sei U=((x1,x2,x3) aus R³: 3x1 - 5x3 = 2x2) 

a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von R³ ist.

3x1-2x2-5x3=0

Ist die Gleichung einer Ebene mit dem Normalenvektor n (3 | -2 | -5), die den Punkt (0|0|0) enthält.

Deshalb ein 2-dim. Untervektorraum von R³

Man kann hier eine die Ebenengleichung in Parameterform aufschreiben, mit den Basisvektoren aus Teilaufgabe b):

E: r = t(2|3|0) + s(5|0|3)

Das ist ein 2-dim Vektorraum innerhalb von R³ und deshalb automatisch ein Untervektorraum von R³. qed.

b) Bestimmen Sie eine Basis von U.

Man nehme 2 beliebige voneinander linear von unabhängige Vektoren, die senkrecht aufn stehen.

Bsp. u = ( 2 | 3| 0) und v = (5|0|3)

Probe: Skalarprodukt: u*n = 6 - 6 = 0 und v*n = 15 - 15 = 0 

c) welche Dimension hat der Faktorraum R³/U?

Das muss wohl die Dimension 1 sein. (Projektion aller Vektoren auf die Gerade mit der Parametergleichung

g: r = (0|0|0) + t*n 

n: Normalenvektor.